Calculo Integral

ITC DGEST SES SEP

“CÁLCULO INTEGRAL”

PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN

CUADERNILLO DE TAREAS

EQUIPO # 2

Antonio Chávez Gil

Cervantes Rodríguez Janeth

Gallardo Escobedo Jesús

Orduño Belediaz Yamilet: Capitán del equipo

Pérez Domínguez Fidel

Pérez Domínguez Martin

Vélez Navarrete Itzel

Segundo semestre

Ingeniería en Gestión Empresarial

H.H. Cuautla Mor. 04 de Agosto de 2011

Página

Índice

2

UNIDAD 1: Teorema fundamental del cálculo.

3

UNIDAD 2: Integral indefinida y métodos de integración.

48

UNIDAD 3: Aplicaciones de la integral.

65

UNIDAD 4: Series.

80

UNIDAD 1: Teorema fundamental del cálculo.

Tarea 1: Examen diagnóstico.

DERIVADAS

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Teoremas para el cálculo de la derivada

Regla de la constante: La derivada de cualquier constante es cero.

Regla de la multiplicación por una constante:

Si c es cualquier número real, entonces la derivada de cf(x), es igual a c multiplicado por la derivada de f(x). Esto es una consecuencia de la linealidad, que se verá más adelante.

Linealidad:

Para todas las funciones f y g y todos los números reales a y b.

Regla general de la potencia (Regla del polinomio):

Si , para todo r real,

Entonces

Regla del producto:

Para todas las funciones f y g.

Regla del cociente:

Si g es diferente de cero.

regla de la cadena:

Si ,

Entonces .

Funciones inversas y diferenciación:

Si ,

Entonces ,

Y si y su inversa son diferenciables,

Entonces para los casos en que dx  0 y cuando, dx  0

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable:

Sea y .

Entonces

Diferenciación implícita:

Si es una función implícita,

Se tiene que:

De forma adicional, es útil conocer las derivadas de algunas funciones comunes. (Vea la tabla de derivadas).

Como ejemplo, la derivada de

Es

.

Para las funciones logarítmicas:

La derivada de e elevado a x es e elevado a x

La derivada del logaritmo natural (ln) de x es 1 dividido entre x

Para las funciones trigonométricas

La derivada del seno de x es el coseno de x.

La derivada del coseno x es menos seno de x.

La derivada de la tangente de x es la secante al cuadrado de x.

La derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x.

La derivada de la secante de x es el producto de la secante de x por la tangente de x.

La derivada de la cosecante de x es el producto de menos cosecante de x por la cotangente de x.

Para las funciones trigonométricas hiperbólicas

La derivada del seno hiperbólico de x es el coseno hiperbólico de x.

Importancia y Aplicación Área.

1) Para cálculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. Para obtener las segundas se debe obtener la derivada de la distribución. Y estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasas de interés, etc., de manera resumida, cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma continua en el tiempo. Estadística 2) Para maximizar o minimizar cosas. Por ejemplo si se quiere reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de X con cajas más pequeñas. Administración 3) En temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc. Ciencias Exactas Aplicación Área 4) Para el análisis de regresión, series de tiempo, etc. Se aplican derivadas. La regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. Por ejemplo, se puede crear un modelo matemático para predecir que una empresa Y va a vender P pesos si gasta G pesos en publicidad. Administración 5) Sirve para procesos estocásticos (modelos financieros muy avanzados). Administración 6)Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, ya muchas aplicaciones más en ingeniería y física. Ingeniería

Aplicación del Cálculo Diferencial al área de Computación o Informática

El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:

Fabricación de chips (obleas de microprocesadores )

Miniaturización de componentes internos

Administración de las compuertas de los circuitos integrados

Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.

Fuentes consultadas.

http://www.slideshare.net/leydi20/clculo-diferencial-presentation-727109

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://www.dervor.com/

FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x ∈ A uno y solo un elemento y ∈ B, llamado imagen de x por f, que se escribe y = f (x).

Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

El conjunto

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