Integración numérica
Enviado por ccllmmpp • 17 de Abril de 2013 • Informes • 366 Palabras (2 Páginas) • 300 Visitas
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Siendo el problema de calcular una primitiva algo complejo, nos será de utilidad conocer un algunas ideas relacionadas con la integración numérica. En este apunte veremos la Regla del trapecio y la Regla de Simpson, suponiendo que f es continua y que tiene todas las derivadas que sean necesarias.
• Regla del trapecio
Intentemos aproximar por una expresión del tipo
Si tomamos y se obtiene que
Resolviendo el sistema podemos ver que
De donde
(note que es la fórmula para el cálculo del área de un trapecio).
Gráficamente, estamos calculando el área del trapecio definido por los puntos
. Es claro que si la longitud del intervalo es “grande” no se puede esperar que la aproximación sea buena.
Para evitar este problema subdiviremos el intervalo en n intervalos iguales. En cada uno de ellos
Sumando,
Ejemplo:
Veamos que tomando un número mayor de puntos obtenemos una mejor aproximación.
• Análisis del error
Definimos
Derivando obtenemos
Note que
Usando el Teorema del valor medio de Cauchy podemos ver que
De donde
Acotando,
Si bien usaremos esta cota por simplicidad puede obtenerse una mejor ya que y puede volver a usarse el Teorema del valor medio de Cauchy (ejercicio).
Si subdividimos el intervalo el error será menor o igual a la suma de los errores en cada intervalo . Es decir,
Llamemos en el intervalo .
Entonces,
Note que si está acotada, entonces el error tiende a cero cuando tomo un mayor número de puntos.
• Regla de Simpson
Tomemos ahora tres puntos en cada intervalo, obtenemos para una expresión del tipo
Para
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