Integración Numérica Regla del trapecio

INTRODUCCIÓN

El cálculo es la matemática del cambio. acoge dos cosas fundamentales: el cálculo integral y el diferencial. La integración analítica es sin duda la mejor forma de poder encontrar un área bajo la gráfica de una función. Sin embargo, existen casos en los que no podemos hacer uso de estos métodos por los cuales la integración numérica es la que entra en juego e incluso la suma analítica puede dar aproximaciones erróneas. Entre las razones podemos decir que se puede usar cuando la función a integrar es desconocida, pero se conoce algunos puntos de la función, como los datos obtenidos experimentalmente, la función que se trata de integrar no tiene primitiva, o sí la tiene pero es más complicado integrar numéricamente. Entonces se presentan las fórmulas de Newton-Cote que son formas cerradas, es decir, donde se conocen los datos límites de integración.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

dentro de la integración numérica el método de trapecios es de lo más usados. Su complejidad es baja. Se usa para hacer una aproximación a la integral.

Los métodos de integración numérica parten de las fórmulas de Newton-Cotes.

De aquí se propone que fn (x) es un polinomio de la forma:

Aquí n se refiere al grado del polinomio.

Con estas fórmulas la integral también se puede aproximar a través de un conjunto de polinomios por segmentos a la función/datos siempre que sea constante. Newton-Cotes presenta dos tipos de formas: las abiertas, que son las que no tienen un intervalo de integración definido y las cerradas que sí lo tienen. Como se busca un área definida por una curva, las formas abiertas no convienen para la integración numérica.

LA REGLA DEL TRAPECIO

Tenemos la regla del trapecio. Esta es la más sencilla forma de realizar la integración numérica y es aplicable de buena manera cuando los casos son polinomios son de primer grado. Se basa en la conceptualización de un trapecio que abarque una cantidad del área bajo la curva entre dos puntos. Los trapecios normalmente descansan sobre su base mayor pero en este caso se encuentran sobre un lado al eje x. Por lo tanto, el ancho del trapecio sería (b-a) que multiplica a la altura promedio. Al momento de operar a base de la fórmula de Newton-Cote y relacionarla con la forma de representar una línea recta y el área de un trapecio obtenemos:

Para la integración numérica es lógico que existan errores al realizarlas, pues los polinomios son distintos y la recta con la que se forma el triángulo puede no abarcar parte importante de la curva. Este error se puede aproximar con la fórmula:

Uniendo las dos fórmulas en una tenemos expresado:

Esta dice que, si la función que se integra es lineal, no existirá errores numéricos. En cambio, cuando exista una que no sea lineal, puede presentarse el error.

REGLA DE LOS TRAPECIOS DE INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Para los casos en los que se tenga una función con curvatura y se pueda dar un error muy grande al momento de realizar la integración numérica, es conveniente realizarla por trozos. De hecho, la integración analítica se basa en seccionar en rectángulos el área bajo la curva para obtener resultados más confiables. Lo que se hace es dividir el intervalo (a,b) en subintervalos de igual longitud. aproximamos en cada subintervalo la función f(x) por una recta. Luego se suman las áreas de cada segmento para encontrar la integral total. Existen n segmentos del mismo tamaño. El ancho h se obtiene con la relación:

Para obtener la

...