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QUÉ ES EL MÉTODO DE NEWTON ?

El Método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscarceros de funciones de una variable. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos.

El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una función alrededor de una estimación de la raíz x0

Truncando la serie a primer orden e igualando f (x) = 0 se tiene.

Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `(x) . Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ó sea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b].

La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)) .En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x).

Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial.

Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Estosignifica que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f (x) = x2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo:

f (x) = x2 − 4 = 0 , de aquí se tiene que f (x) = (x + 2)(x − 2) = 0 , para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación.

OBTENCIÓN DE LA FORMULA

El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el Método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (xo, f (xo)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f (xo) . La nueva aproximación a la raíz, x1 , se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (xo, f (xo)) y de la pendiente f ‘(xo) es :

y- f (xo) = f ‘(xo)(x-xo) .

De donde, haciendo y=0 y despejando x se obtiene la ecuación de Newton- Raphson.

Xn+1 = Xn – f (Xn) / f ‘(xn)

Demostración: Sea 0 x la raíz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonométricas al ángulo α de la figura 4 se tiene que tan(α ) = f (xo) /(xo − x1) , a partir de esta fórmula se puede decir que: (x0 − x1) = f (x0 ) / tan(α ) . y despejando x1 se tendría la fórmula de Newton. La pendiente en xo esta dada por tan(α ) = f ‘(xo) . Teniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces que: x1 = x0 − f (xo) / f ‘(xo ) .

También se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuación de la línea tangente en xo esta dada por y- f (xo) = f ‘(xo)(x-xo) . La primera aproximación x1 es

Obtenida como la raíz de (1). Así (x1,0) es un punto sobre la ecuación anterior.

Donde, Xn una valor para x conocido actualmente, f(Xn) representa el valor de la función evaluada en Xn , y f’(Xn) es la derivada evaluada en Xn, Xn+1 representa el próximo valor para x que se está tratando de encontrar como raíz al aplicar el modelo. Esencialmente, f’(X0) , la derivada representa f(x)/dx , (dx = delta-x) ó dx = X1- X0 . Sin embargo,

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