La Esponja De Meyer

Fuente:

http://www.todointeresante.com/2010/06/la-esponja-de-menger-fractal-infinito.html

27/agosto/14, Hora: 12:35 pm.

La esponja de Menger (o cubo de Menger) es uno de esos curiosos y sorprendentes objetos matemáticos conocidos como Fractales, y en cuyas estructuras se repiten las formas a diferentes escalas.

Presentado por Karl Menger allá por 1926, su origen es una composición tridimensional de la alfombra de Sierpinski, observado por Wacław Sierpiński en 1916.

Para formar una de estas alfombras necesitamos un cuadrado divido en 9 partes iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro después, repetimos el mismo proceso con los 8 restantes, sin solución de continuidad. El resultado final se presenta como una superficie llena de agujeros de diferentes tamaños en un espacio que tiende a cero a medida que aumenta el número de iteraciones. Pero ¿Cómo puede una figura tener una superficie nula? pues bien, ese es uno de los dilemas y aspectos más atractivos de los fractales y su secreto es por que tienden al infinito.

De la misma manera, si creamos un cubo con las caras de estas superficies, obtendremos la construcción de la esponja cuyas paredes estarían perforadas indefinidamente por unos cuadradillos cada vez más pequeños, así es la esponja de Menger, una estructura que llevada al infinito desaparecería, un objeto con un volumen nulo.

Y aunque pueda parecer un juego matemático, las estructuras fractales presentan importantes aplicaciones en nuestra vida diaria, como ejemplo, los fractales regulan el enorme tráfico de las comunicaciones, comprimen las señales de audio y vídeo, explican el crecimiento de determinados tejidos biológicos, el comportamiento de las ondas sísmicas. Incluso hoy día existen métodos de análisis bursátil y de mercado basados en el comportamiento de los fractales.

Monstruos matemáticos

Fuente: http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=136&Itemid=111#

27/agosto/14, Hora: 1:11 am.

Los matemáticos de aquella época, extrañados, etiquetaron ésta y otras figuras como “monstruos matemáticos”. Otro monstruo es el Triángulo de Sierpinski (Figura 19), que se obtiene a partir de un triángulo inicialmente sólido, retirándole de su parte central un triángulo semejante, más pequeño, invertido, y repitiendo el proceso con los tres triángulos, también semejantes, que quedan. El resultado final de este proceso infinito es el que vemos en la Figura 2.

Los matemáticos han encontrado que el área del triángulo de Sierpinski es cero. Sí, sí, cero. Se trata de una figura cuya superficie es nula. Es como si fuese una colcha de tela de araña o de tul muy tenue, hecha de un hilo tan fino, tan fino, que no llega a cubrir absolutamente nada. Podría ser un bonito velo fractal para una novia fractal en su boda fractal, pero está claro que su utilidad como manta para el invierno queda descartada.

Otro monstruo es la Alfombra de Sierpinski (Figura 20), que es el equivalente del anterior, pero con cuadrados. Al igual que el triángulo, tiene un área de cero unidades. Por tanto, esta alfombra tiene la ventaja de que no hace falta levantarla para barrer por debajo, porque como no tapa nada... Así que el que consiga fabricar alfombras de Sierpinski, puede tener el negocio asegurado.

Otro monstruo, pero en tres dimensiones, es la Esponja de Menger (Figura 21), que se obtiene a partir de un cubo macizo, subdividiéndolo en 27 cubitos iguales más pequeños y retirando el cubito central interior y los centros de cada una de las seis caras, en total siete cubitos. Después de esto quedan 20 cubitos, a los cuales se les repite individualmente este proceso, y así indefinidamente. Aquí vemos las tres primeras fases

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