La distribución muestral de un estadístico

Vamos a suponer que en una población de tamaño N hemos atribuido a cada elemento de la población un valor de acuerdo con determinada característica o rasgo X que hemos medido. Podemos seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n y calcular un estadístico, por ejemplo la media, para los n valores seleccionados. Si volvemos a extraer muestras aleatorias y repetimos la operación sucesivamente, lograremos reunir un número elevado de medias.

Con las medias obtenidas, podemos construir una distribución de frecuencias para los valores de Simbolo[D]. Pues bien, a medida que aumenta el número de muestras extraídas de tamaño n, esa distribución se aproxima a una distribución teórica que denominaremos distribución muestral del estadístico media.

La distribución muestral de un estadístico se define como la función de probabilidad (o función de densidad de probabilidad) de ese estadístico. Es decir, se trata de una función que expresa la probabilidad asociada a cada posible valor del estadístico obtenido a partir de una muestra aleatoria de tamaño n.

Para ilustrar este concepto, construiremos la distribución muestral del estadístico Símbolo[D] cuando extraemos muestras aleatorias de tamaño 2 en una población constituida por los valores 1, 2 y 3. La muestra estará formada por los valores de las dos variables aleatorias X1(resultado de la primera selección) y X2(resultado de la segunda elección). A su vez, la media Símbolo[D] es también una variable aleatoria, puesta que se obtiene por combinación lineal de las dos variables aleatorias X1 y X2. Formaremos muestras de 2 elementos recurriendo a dos vías diferentes:

Procedimiento empírico. Seleccionamos al azar una muestra con reposición de 2 elementos y calculamos su media. Repetimos el proceso hasta un total de 20 veces. Los resultados de este proceso empírico quedan recogidos en la tabla 2.

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