Distribucion Muestral

Distribucion Muestral

Población: Es un conjunto de organismos o individuos de la misma especie que coexisten en un mismo espacio y tiempo, y comparten ciertas propiedades biológicas.

Muestra: Es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística, se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población

Estimación: Es cualquier técnica para conocer un valor aproximado de un parámetro referido a la población, a partir de los estadísticos muéstrales calculados a partir de los elementos de la muestra.

Tamaño de la muestra: Es el número de sujetos que componen la muestra y el valor real.

Unidad de muestreo: Es una colección de uno o más elementos de la población

Muestreo aleatorio simple: Si un tamaño de muestra n es seleccionado de una población de tamaño N de tal manera que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

Parámetros un valor numérico de la población usualmente desconocido, que representan ciertas características numéricas de la población.

Distribución de muestreo y tipos

Muestreo Sistemático: Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros “K” elementos en el marco y después cada k-esimo elemento.

Muestreo Estratificado: Es obtenida mediante la separación de elementos en grupos llamados estratos, y la selección posterior de una muestra aleatoria.

Muestreo sin Reemplazo: La unidad de muestreo seleccionado no retorna a la población, no hay independencia entre los valores.

Muestreo con Reemplazo: La unidad seleccionada regresa a la población de tal manera que pueda ser elegida nuevamente.

Muestreo por Conglomerados: Cuando se tienen por grupos de plantas, animales, etc., no es posible tener una lista de ellos.

Distribución de Frecuencias: A la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas

Distribución Muestral: es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado.

Distribución de Probabilidad: es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Distribución F: Es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Distribución muestral de la media (muestras grandes)

Varianza conocida

z=( X-M)/r →z=(X-M)/rx rx=r⁄(√n)

1.- Una población se compone de los 4 primeros números naturales. Considerar todas las muestras posibles de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento de esta población hallar:

la media de la población

M=(1+2+3+4)/4=2.5

la desviación estándar de la población

σ^2= ( 〖(1-2.5〗^()2)+(2-2.5)^( 2) +(3-2.5)^2+(3-2.5)^2+ (4-2.5)^2)/4

σ^2= 5⁄4 entonces∶ σ=√5⁄4

la media de la distribución muestral de medias

(4) (4) = 16 medias

1,1; 1,2; 1,3; 1,4 1 1.5 2 2.5

21, 22, 23, 24 1.5 2 2.5 3

31, 32, 33, 34 2 2.5 3 3.5

41, 42, 43, 44 2.5 3 3.5 4

M x= (1+1.5+2+2.5+⋯+4 )/16=2.5

M =Mx

la desviación estándar de la distribución muestral de medias

〖σx〗^2=( 〖(1-2.5〗^()2)+(1.5-2.5)^( 2) +(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+ (4-2.5)^2)/16 = 5⁄8=√5⁄8

Entonces: 〖σx〗^2= σ⁄(√n) = (√5⁄4)⁄√2=√((5⁄4)⁄2 )= √5⁄8

2.- un departamento de una fabrica en promedio obtiene una producción de 2.5 tonelas, con una desviación de 0.6 toneladas. Si se extrae una muestra de 36 departamentos cual es la probabilidad que si se selecciona una de ellas provenga en promedio:

a) entre 2.4 y 2.63 toneladas

Z=(X-M )/(σ⁄(√n))= (2.4-2.5)/(0.6⁄(√36))= -1

z= (2.63-2.5)/(0.6⁄(√36))=1.3 entonces:P (2.4 ≤x≤2.63)= 0.3413+0.4032=0.7445 ó 74.45%

b) al menos 2.4 toneladas

Entonces:

0.34113 + 0.5 = 0.8413

Cuando la muestra es pequeña, pero si se conoce la varianza o deviación estándar se asegura utilizando la estadística Z

Distribución muestra de la proporción

Z= ( P ̅-P)/(√P) Ó Z=(P ̅-P)/(√(P(1-P))/n)

σ⁄p= √( P (1-P))/n

En una fábrica hay el 3 % de artículos defectuosos. Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una muestra de 36 elementos, estos tengan:

Menos de 4% de defectos

P (x ≤4%) Z=(0.04-0.03)/(√(0.03(1-0.03))/36)= (0.04-0.03)/(√0.0241/36)= 0.01/(√0.0241/36)=0.35

P=Mp=3%=0.03

En la tabla: 0.1368

0.5 + 0.1368 = 0.6368 = 63.68%

Entre el 2 y 4% de defectos

0.1368 + 0.1368 = 0.2736

Suponga que en una población de familia, el 22% se suscribe a la revista “y”

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 220, con una proporción de la muestra inferior o igual a 0.16?

P(x≤0.16)

P=Mp=22%=0.22

Z=(0.16-0.22)/(√(0.22( 1-0.22))/22)= (-0.66)/(√0.1716/220)= -2.15

En la tabla: 0.4842 entonces: 0.5-0.4842 = 0.0158 ó 1.58%

Distribución muestral de la diferencia de medias

Z= ( ((Xi) ̅- (X2)) ̅-(M1-M2))/(√(〖σ1〗^2/n1)+〖σ2〗^2/n2) σ (X1-X2) ̅=√(σ^2/n1)+σ^2/n2

Se les hace exámenes a dos poblaciones de estudiantes sobre el rendimiento de la materia de estadística, se supone que las poblaciones están distribuidas normalmente, con las siguientes medias y varianzas:

m1= 50; m2= 40; 〖σ1〗^2=40; 〖σ2〗^2=60

Se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n1 = 10 y n2= 12. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre medias muéstrales este entre 5 y 15?

Z= ((5)-(50-40))/(√(40/10)+60/12)= -5/3= -1.67

Z= ((15)-(50-40))/(√(40/10)+ 60/12)= (5 )/3= +1.67

entonces:0.4525+0.4525=0.905

Distribución muestral de la diferencia entre proporciones

Z= (((P1-) ̅(P2)) ̅-(P1-P2))/(√(P1(1-P1)/n1)+ (P2(1-P2))/n2)

En una comunidad “a” el 15% sufre problemas emocionales y el 10% en la comunidad “b”. En una muestra aleatoria de 150 individuos de “a” se encontró que 30 tenían ese problema mientras que de 100 de la comunidad “b” 7 tenían el problema. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia entre las proporciones muéstrales mayor o igual a la que realmente se observa?

n1= 150 n2 =100 P1 = 0.15 P2= 0.10 (P1) ̅ =30/150=0.20 (P2) ̅ =7/100=0.70

Z=((0.20-0.07)-(0.15-0.10))/(√((0.15)(1-0.15)/150)+ (0.10)(1-10)/100) Z=((0.13)-(0.05))/(√(0.1275/150)+ 0.09/100)=0.08/√(7/4000)=1.9123

Entonces: 0.5-0.4719 = 0.0281 ó 2.81%

Estimación de la media

Empleando el hecho de que la distribución de la muestra de una media, de una muestra aleatoria grande de una población infinita es aproximadamente una distribución normal donde:

Mx ̅=M y σx ̅= σ/√n

Se determina que la probabilidad es: 1-∝

De que una muestra difiera de la media de una población M en cuando mucho Z ∝⁄(2 ∙ σ⁄√n)

Como: X ̅-M es el error que cometemos cuando utilizamos la media de la muestra como estimación de la media de la población; 1-∝ es la posibilidad de que el tamaño de este error sea menor.

Cuando n ≥ 30 datos: margen de error E=Z ∝⁄(2 ∙ σ⁄(√n))

Intervalo de confianza para estimar una media de población, caso de muestras grandes, en el cual se conoce la desviación estándar

X-Z ∝⁄(2 ∙σ⁄√n)≤M≤ X+ZZ ∝⁄(2 ∙σ⁄√n)∙σ⁄√n

ó

X ̅+ - Z ∝⁄(2 ∙σ⁄√n)

Se llevo a cabo una encuesta de compañía estadunidense que

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