Distribuciones Muestrales

I N D I C E

DISTRIBUCIONES MUESTRALES…………………………………………………...3

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA……………………………………...4

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA POR LA MEDIA………………………..6

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA POR LA PROPORCION………………….9

DETERMINACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA…………………………………...11

FUNDAMENTOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS………………………………………..13

REGRESION LINEAL SIMPLE Y CORRELACIONAL…………………………………….15

ANALISIS DE SERIE DE TIEMPO…………………………………………………..16

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………...18

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muestrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.

• Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

• Si la población no sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE PROPORCIONES

En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .

• Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

Donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y q=1-p.

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA

Dada una muestra aleatoria simple correspondiente a una variable aleatoria dependiente de un parámetro θ, diremos que los estadísticos L1 y L2 son un intervalo de confianza para θ con nivel de confianza (1 − α) • 100 %, si se verifica:

1. L1 < L2 para toda muestra de tamaño n.

2. P(L1 ≤ θ ≤ L2) = 1 − α.

Hay que destacar que en la segunda condición, en nuestro contexto, el valor del parámetro es fijo, lo que es aleatorio son los estadísticos que delimitan el intervalo.

A la hora de plantearnos la obtención de un intervalo de confianza hemos de adoptar una serie de decisiones previas.

• La primera y más importante es la elección del parámetro poblacional del cual deseamos obtener la estimación. Generalmente esta elección está relacionada con el tipo de distribución que asumimos para la variable estudiada. De manera usual el parámetro poblacional se corresponde con alguno de los parámetros de las distribuciones, por ejemplo, si deseamos un intervalo de confianza para la probabilidad de un suceso trabajaríamos con el parámetro p de la distribución Binomial. En algún caso, sin embargo, podemos estar interesados en la obtención de un intervalo de confianza para algún parámetro, por ejemplo la media poblacional, sin hacer ninguna suposición sobre la distribución de la variable. Estaríamos dentro de la denominada estimación no paramétrica.

• Una segunda elección es el nivel de confianza con el que deseamos trabajar. No es una elección sin importancia, puesto que del nivel de confianza dependerá la precisión de la estimación que obtengamos, es decir, la anchura del intervalo. A mayor nivel de confianza exigido, mayor será el radio del intervalo y por tanto menor la precisión en la estimación. Generalmente se trabaja con niveles de confianza del orden del 90 % o 95 %.

Una de las posibilidades que nos brinda la estimación por intervalos de confianza es fijar a priori la precisión que deseamos en la estimación. La precisión está relacionada de manera inversa con el radio del intervalo. A mayor radio del intervalo menor precisión en la estimación.

La precisión deseada puede obtenerse a través del control del tamaño de la muestra empleada para la construcción del intervalo. Generalmente el investigador fijará el nivel de confianza con el que desea trabajar y la precisión deseada para la estimación.

Con estas premisas y basándose generalmente en la información adicional proporcionada por una muestra piloto obtenida con anterioridad es posible determinar el tamaño muestral mínimo necesario para lograr los objetivos fijados.

Si no se dispone de muestra piloto,

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