La transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

EDUARDO MARTÍNEZ

Estudiamos en este capítulo la transformación de Laplace, que es un método para

asociar a una functión f otra función F distinta, llamada transformada de Laplace

de f. Una de sus principales virtudes es que transforma ecuaciones diferenciales

lineales en ecuaciones algebraicas, por tanto fáciles de resolver. Una vez resuelta

dicha ecuación algebraica se hallará la antitransformada obteniendose la solución

de la ecuación diferencial.

La transformada de Laplace de una función f viene dada por medio de una

integral impropia dependiente de un parámetro (la variable de la cual depende la

función F), por lo cual la teoría está llena de complicaciones técnicas. Por esta

razón, y teniendo en cuenta las aplicaciones de la teoría que necesitamos, podemos

restringirnos a una clase de funciones sencillas, las funciones de orden exponencial.

En principio, y dado que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con

coeficientes constantes son funciones continuas, podríamos restringirnos a funciones

continuas. Sin embargo, nos interesa estudiar ecuaciones con impulsos, que como

vimos, hacen que la solución cambie bruscamente y sea discontinua. Es por esto

por lo que trataremos funciones continuas a trozos.

1. Transformada de Laplace

Consideremos el conjunto ! formado por las funciones de una variable real t

con valores en C cuyo dominio contiene los reales positivos y un entorno del cero

y son continuas a trozos (es decir, las discontinuidades de la función son de salto

finito y el conjunto de puntos de discontinuidad no tiene puntos de acumulación

finitos, o lo que es lo mismo, en cada intervalo compacto hay un número finito de

discontinuidades de salto finito).

A todos los efectos se considerarán como iguales dos funciones continuas a trozos

que coincidan en [0,!) salvo en sus puntos de discontinuidad. Si se prefiere,

podemos trabajar con clases de equivalencia de funciones que coinciden salvo en

un conjunto sin puntos de acumulación finito. En consecuencia, en un punto de

discontinuidad, no tiene sentido hablar de f(a) sino de f(a+) y f(a−).

Definición 1.1: Dada una función f # ! llamamos transformada de Laplace

de f a la función F definida por

F(s) =

!

!

0

f(t) e−st dt.

Se utiliza frecuentemente la notación F = L(f) o también L(f(t)) = F(s).

Evidentemente, el dominio de la función F es el campo de convergencia de la

integral anterior. Nótese que F es una función compleja de variable real.

Ejemplo 1.2: Consideremos la función f(t) = 1, es decir f(t) = 1 · H(t) = H(t).

Su transformada de Laplace es

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