Lenguaje Algebraico

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.

Ejemplos: El doble de un número: 2x

La suma de dos números: x + y

Las expresiones: 2x, x + y: son expresiones a1gebraicas.

El valor numérico de una expresión algebraica es el numero que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

Ejemplo: Calcular el valor numérico de 2x2 + 3a para x = 2 y a = -1.

Para x = 2 y a = -1: 2•22 + 3•(-1) = 8 - 3 = 5.

1 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La mitad de un número.

b) Añadir 5 unidades al doble de un número.

c) La suma de un número y el doble del mismo.

d) El área de un triángulo de base b y altura h.

e) La resta de un número par y su siguiente.

f) La suma de dos números consecutivos es 21.

g) Dos números pares consecutivos suman 10.

h) El producto de tres números consecutivos es 120.

i) El producto de dos números pares consecutivos es 48.

j) Unos pantalones y una camisa cuestan en total 12000 PTA. La camisa cuesta 6000 PTA menos que los pantalones.

k) Al aumentar el lado de un cuadrado en 2 cm su superficie aumenta en 24 cm2.

l) La diferencia entre los cuadrados de un número y el número anterior a éste es 21.

m) La suma de dos números es 22 y su diferencia es 8.

n) En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 cm

y los catetos se diferencian en 7 cm. Expresar el teorema

de Pitágoras en función de cualquiera de los dos catetos.

ñ) Las dos cifras de un número suman 12. Si se invierte el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades.

o) De dos números sabemos que el cociente entre el mayor y el menor es 3 y el resto es 4, mientras que el cociente entre ambos es exactamente igual a 2 al aumentarlos en 7 unidades cada uno.

2 Expresa en lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas:

a) x/2

b) x2 + 2x

c) n(n +1)

d) a2 = b2 + c2

e) y/2 + y2

f) (x + y)•(x - y)

g) x2 - y2

h) (x - y)2

i) a2 + b3

j)

k)

3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las letras que se indican:

a) 23x, para x = 4

b) a + b2 - 3ab, para a = -2 y b = -3

c) n + (n + 1)3 - 3n + 2, para n = 3

d) + 3x2 - 1, para x = 0, y = 2 y a = -1

e) x2 + 2xy + y2, para x = 5, y = -2

f) , para x = 4, y = 3

g) + , para x = 4, y = 3

4 Observa la figura y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que nos da el

perímetro del triángulo?

b) ¿Cuál es el perímetro del triángulo si los lados

iguales miden 3 cm cada uno?

5 Señala verdadero o falso según corresponda:

a) El cuadrado de la suma de dos números: x2 + y2

b) La mitad de un número más 5 unidades: + 5

c) La suma de los cuadrados de dos números: (x + y)2

d) La mitad de la suma de un número más tres unidades:

Identidades y ecuaciones de primer grado

La igualdad 3x - 2x = x es cierta ya que el primer miembro y el segundo toman el mismo valor para cualquier valor de x. Esta igualdad se llama identidad.

Las igualdades x - 2 = 4 y x2 = 9 no son ciertas para cualquier valor de x.

Estas igualdades se llaman ecuaciones.

El valor de x que hace cierta la igualdad es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Hallar la solución de - - + = 6

m.c.m.(2, 3, 2) = 6: - - + = 6

Multiplicar por 6 los dos miembros: -3x - 4x + 9x = 36

Operando: 2x = 36

Dividiendo por 2 los dos miembros: x = 18

6 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son ecuaciones y cuáles son identidades.

a) x + x - 1 = 3x + 2 c) 2x + 7 - 5(x + 1) = 2 - 3x

b) 3x - 2 = 1 - 4x + 5 d) 2(x + 1) = 5(x + 1) - 3(x + 1)

7 ¿Por qué números hay que sustituir las letras para que las igualdades sean ciertas?

a) b + 5 = 5 b) x - 4 = 20 c) 3x = 27 d) 9x - 1 = 8

8 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado?

a) 3 - x2 = 5 c) 1 - = 1

b) 2x2 - x + 50 = 0 d) 4x - 6x + 4x - 2 = 0

9 Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuación correspondiente.

a) 2x - 3 = 5, x = 3 e) + 3 = 2, x = -2

b) x + 1 = 7, x = 6 f) = 1, x = -2

c) 2x - 3 = x, x = -1 g) = x, x = 1

d) = 6, x = 2 h) 5(5 - x) = 10, x = -3

10 Explica los pasos dados en la resolución de las siguientes ecuaciones:

a) 2x - 6 = 8 c) + 10 = 19

2x = 14 = 9

x = 7 x = 18

b) 8x + 36 = 2x d) = x

6x + 36 = 0 x - 3 = 4x

6x = -36 -3x = 3

x = -6 x = -1

11 Resuelve las siguientes ecuaciones dando los pasos que se indican:

a) x - 8 = 6 + 21 c) x - 5 + 6 = 0

Sumar 8: Operar:

Operar: Restar 1:

b) 5 + x = 2x + 1 d) 5x - 2 = 3x - 16

Restar x: Restar 3x:

Restar 1: Sumar 2:

Dividir entre 2:

12 Resuelve las siguientes ecuaciones explicando los pasos seguidos:

a) -2x - 6 = 7(4x + 14) g)

b) 5x + = h) = x - 15

c) i)

d) j)

e) = 4 k)

f) x + 5 =

Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado

La edad de un alumno es el triple de la que tenía hace 8 años. ¿Cuál es esa edad?

1.º Identificar los valores que hay que hallar: edad = x

2.º Identificar los datos o valores conocidos: edad hace 8 años = x - 8

3.º Expresar en una ecuación las condiciones contenidas en el problema:

x = 3(x - 8)

4.º Resolver la ecuación: x = 3x - 24

-2x = -24

x = 24

13 La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Dentro de 10 años su edad será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

14 Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le sumáramos 7 unidades. ¿Cuál es el número?

15 Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 100 PTA a cada uno sobran 15 PTA, mientras que si les damos 125 PTA faltan 35 PTA. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto dinero tenemos?

16 La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números.

17 En un rectángulo de base 70 m y altura 30 m se disminuyen 10 m de la base. ¿Cuánto debe aumentar la altura para que resulte la misma superficie?

18 El tronco de un gato mide de largo 1/2 de su longitud total y la cabeza mide igual que la cola, 6 cm. ¿Cuánto mide el gato?

19 La valla del patio rectangular de un colegio mide 3600 m. Si su largo es el doble que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del patio?

20 En una reunión hay triple número de mujeres que de hombres y doble número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántas mujeres, hombres y niños hay si asistieron a la reunión 60 personas?

21 Un poste de teléfonos tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte exterior mide 8 m. ¿Cuánto mide en total el poste?

Sistemas de ecuaciones. Método de sustitución

Las ecuaciones: 2x + y = 2

x - 3y = -13

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y.

Resolución del sistema por el método de sustitución:

1.º Despejamos la y de la primera ecuación: y = 2 - 2x

x - 3y = -13

2.º Sustituimos este valor de y en la segunda: y = 2 - 2x

x - 3(2 - 2x) = -13

3.º Resolvemos la segunda ecuación:

...