Levantamiento Topografico

INTRODUCCION

Este siguiente trabajo tiene como objetivos de dar a conocer las aplicaciones de los integrales dobles, para poder encontrar el área y el volumen mediante el uso de los integrales dobles. El desarrollo de este trabajo en el área del curso de análisis matemático III, en el tema de cálculo vectorial, está dirigido a los estudiantes de ingeniería civil y en particular a los alumnos del III ciclo. se ha realizado de una forma dinámica iniciando en un principio con un detallado marco teórico seguidamente de una serie de ejercicios que va de los más básico y sencillo a lo más complicado, mencionando como se debe realizar paso a paso el desarrollo y la respectiva gráfica del ejercicio en mención.

Esperamos que las ilustraciones sean de fácil entendimiento para el lector.

LOS ALUMNOS

OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es dar a conocer las aplicaciones de la integral doble en particular para encontrar el área y el volumen mediante la doble integración, el desarrollo de cada ejercicio esta realizado detalladamente paso por paso para un buen entendimiento de todos los compañeros. Otro de los objetivos de este tema que se realizo es abarcar un poco mas en el curso de análisis matemático que será de gran utilidad más adelante en los diferentes cursos que posteriormente se realicen.

DEDICATORIA.

DIRIGIDO AL DOCENTE DEL CURSO POR SU INNEGABLE LABOR DE ENSEÑANZA.

INDICE

CARATULA

INTRODUCCION

OBJETIVOS

DEDICATORIA

INDICE

CALCULO DE AREAS POR INTEGRALES DOBLES

- DEFINICION

- CONCEPTO

- EJEMPLOS

CALCULO DE VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES

- DEFINICION

- CONCEPTO

- EJEMPLOS

CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACION

- DEFINICION

- EJEMPLOS

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFIA

ANEXOS

CALCULO DE AREAS POR INTEGRALES DOBLES

CONCEPTO: Es la aplicación sucesiva de dos procesos de integración definida simple a una función de dos variables ; tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial se utilizará primero y cual después.

DEFINICION: Dada una función funciones continuas en la región cerrada D tal que . Entonces el área de la región D esta dado por la siguiente expresión:

EJEMPLOS:

EJERCICIOS 1: Calcular el área que viene dada por la integral:

Solución:

Reemplazando:

EJERCICIO 2: Hallar el área por integración doble de la región limitada por las parábolas , , y la recta .

Solución:

Reemplazando:

EJERCICIO 3: Calcular el área de la región comprendida por: , , por integración doble.

Solución:

Reemplazando:

EJERCICIO 4: Determinar el área de la región R limitada por las parábolas:

, .

Solución:

Reemplazando:

VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES

CONCEPTO.- Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables ; tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial se utilizará primero y cual al final.

DEFINICION.- Consideremos la función , continua sobre la región cerrada y , el volumen del solido S bajo la superficie , tiene como base la región D esta dado por la expresión:

EJEMPLO:

EJERCICIO 1: Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide , los planos coordenados y el plano .

Solución:

Reemplazando:

EJERCICIO 2: El rectángulo R en plano xy consta de aquellos puntos tales que . Determine el volumen V del sólido que se encuentra bajo la superficie y sobre R:

Solución:

En este caso por lo que la ecuación

Reemplazando:

EJERCICIO 3: Hallar el volumen de la región limitada por los planos:

Solución:

La región dada es el tetraedro de la figura:

Si observamos que, cuando x varía entre 0 y 6, y varía entre 0 y z−x, con z = 6, el volumen buscado es:

Remplazando:

CAMBIO DE ORDEN EN INTEGRACION

DEFINICION: Dada una integral doble

De una función sobre una región A, uno podría intentar escribirla como dos integrales iteradas destinas. Primero se puede integrar con respecto a x, o se puede integrar respecto a y en primer lugar. Si se integra respecto:

Y si se integra con respecto a y primero, se obtendría otra que se vería como:

La parte difícil a menudo es como determinar cuáles son los límites de integración, es decir, determinar los a o los b. En particular, algunas veces partimos de una integral iterada de la primera forma y queremos pasarlo a la segunda o viceversa. Este proceso es llamado cambiar el orden de integración.

El cambiar el orden de integración es algo truculento pues es difícil escribir un algoritmo específico para el procedimiento. La manera más fácil de explicar la tarea es mediante un dibujo de la región D. Del dibujo, se puede determinar las esquinas y límites de la región D, que es lo que se necesita para determinar los limites de integración. El proceso es mostrado de mejor forma mediante un los siguientes ejemplos:

EJEMPLOS:

EJERCICIO 1: Cambiar el orden de integración de la siguiente integral:

Solución:

- Cambiando el orden de integración tenemos:

Reemplazando:

EJERCICIO 2: Cambiar el orden de integración en la siguiente integral:

Solución:

- La región de integración, indicada en la figura, es la que verifica el sistema:

- Como el punto (3, 4) es la intersección entre la circunferencia y la recta, la nueva integral se escribirá como:

EJERCICIO 3: Cambiar el orden de integración en la siguiente integral:

Solución:

- Se trata de la región comprendida entre la parábola: y la recta

- Al invertir el orden de integración, la integral se descompone así :

CONCLUCION

Al termino del tema desarrollado en este informe los integrantes del grupo estarán en la capacidad de desarrollar y encontrar el área y el volumen mediante integrales dobles de los ejercicios que se le puede presentar y también graficar sus respectivas gráficas, también al finalizar este capítulo el estudiante será capaz de aplicar sus conocimientos para los demás cursos en el futuro que será útil para poder desarrollar los problemas que se pueden presentar

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