Logaritmos

Para aclarar lo que es un logaritmo veamos lo siguiente:

Como seguramente recuerdas, una potencia está formada por una base y un exponente. Por ejemplo, , cuyo resultado es 8. Pero ¿qué sucede si se conoce el resultado de la potencia y nos preguntan por el exponente?

Por ejemplo, ¿a qué exponente necesitamos elevar la base 2 para obtener 64? A ese exponente que buscamos para tener 64 lo llamamos logaritmo base 2 y lo escribimos En este caso el logaritmo es 6 ya que . Por ello, .

En general (donde N es un número positivo) significa que x es el exponente al que necesitamos elevar la base a para obtener la cantidad N; es decir: .

Como puedes ver, podemos escribir de dos maneras distintas (para cada base a>0) las relaciones que se dan entre el exponente y el resultado de la potencia. Es decir, las expresiones y nos dan la misma información y por ello son equivalentes. Utilicemos esas equivalencias para ver por qué la aplicación del logaritmo permite despejar el exponente.

ya que

, ya que

, ya que

Puedes ver que el exponente al que necesitas elevar a para obtener 1 es 0; en el segundo caso, el que requieres para que el resultado de la potencia sea a es 1. Finalmente, el exponente al que necesitas elevar a para tener a2, por supuesto que es 2.

En general el exponente al que se debe elevar la base a para tener ax es precisamente x. Esto se escribe en la forma logarítmica como:

Esta propiedad de los logaritmos es muy importante y es la que nos permite despejar al exponente en la forma exponencial. Veamos un ejemplo de base 10, cuando el exponente NO es entero y por ello no es fácil de encontrar: Suponte que tienes:

, ¿cuál es el valor de x?

Simplemente tomamos logaritmos base 10 de ambos lados de la ecuación y queda:

Si observas la parte izquierda, , tiene precisamente el formato de la propiedad que vimos, por ello, sólo nos queda x.

Así, la solución de la ecuación es:

Para tener el valor numérico, utilizamos la calculadora y obtenemos el resultado:

¡Y ya está!

Dos observaciones finales: Primero, debes de aplicar el logaritmo de la base que corresponde a la forma exponencial. Segundo, en el caso de logaritmo base 10, aunque nosotros recalcamos la base, se acostumbra escribir solamente log y en cuanto a los logaritmos con base e, su simbología es ln. Así es como verás las teclas

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