Logaritmos

1. La séptima operación

Hemos recordado que la quinta operación - elevación a potencias - tiene dos operaciones inversas. Si

ab = c,

la búsqueda de a será una de las operaciones inversas: la extracción de raíz. Para hallar la b se recurre a la otra: la logaritmación. Supongo que el lector conoce las nociones de logaritmos correspondientes a un curso escolar. Para él no representará ninguna dificultad encontrar, por ejemplo, a qué es igual

alogab.

Es fácil comprender que si la base del logaritmo a se eleva a la potencia del logaritmo del número b se obtendrá el número b.

Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el cálculo. Neper, inventor de las primeras tablas de logaritmos, refiere así el propósito que le animaba:

"En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y aburridas operaciones de cálculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de las matemáticas".

En efecto, los logaritmos facilitan y aceleran en grado sumo los cálculos, sin hablar ya de que permiten realizar operaciones que serían en extremo complejas si no los aplicáramos (extracción de raíces de cualquier índice).

preparado por Patricio Barros

Algebra Recreativa Yakov Perelman

Laplace escribió con todo fundamento que "con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos" .

El famoso matemático se refería a los astrónomos por cuanto se ven obligados a hacer cálculos agotadores y de singular complejidad. Mas sus palabras pueden ser aplicadas con pleno derecho a todos aquellos que operan con números.

A nosotros, acostumbrados al empleo de logaritmos y al alivio que proporcionan, nos es difícil comprender el asombro y la admiración que ocasionó su aparición. Briggs, contemporáneo de Neper, célebre más tarde por su invención de los logaritmos decimales, escribió al recibir la obra de aquél: "Con sus nuevos y asombrosos logaritmos, Neper, me ha obligado a trabajar intensamente con la cabeza y las manos. Confío verle este verano, pues jamás he leído un libro que tanto me agradara y asombrara como éste" . Briggs realizó su deseo, dirigiéndose a Escocia para visitar al inventor de los logaritmos. Cuando se encontraron, Briggs le dijo:

"He emprendido este prolongado viaje con el fin exclusivo de verle a usted y conocer con ayuda de qué ingenioso procedimiento y de qué arte se ha valido para concebir ese admirable recurso para los astrónomos: los logaritmos. Y, por cierto, que lo que ahora más me asombra es que nadie los hallara antes; hasta tal punto parecen sencillos después de conocerlos".

Volver

2. Los rivales de los logaritmos

Antes de haberse inventado los logaritmos, la necesidad de acelerar las operaciones determinó la aparición de unas tablas de otro género, mediante las cuales la multiplicación se suplía por la resta y no por la suma. Dichas tablas se basaban en la identidad:

ab=(a+b)2 −(a−b)2 44

cuya veracidad es fácil de comprobar abriendo los paréntesis.

Disponiendo de cuartos del cuadrado, puede hallarse el producto de dos sin multiplicarlos. Basta restar de un cuarto del cuadrado de la suma de estos números el cuarto del cuadrado de su diferencia. Esas mismas tablas alivian la elevación al cuadrado y la extracción de la raíz cuadrada. La tabla de cifras inversas simplifica también la división.

La superioridad de estas tablas sobre las de logaritmos estriba en que gracias a ellas se obtienen resultados exactos y no aproximados. Sin embargo ceden ante ellas en lo referente a muchas propiedades, que prácticamente son de mayor trascendencia. Si las tablas de las cuartas partes de los cuadrados permiten la multiplicación de dos cifras, los logaritmos, en cambio, hacen posible encontrar al mismo tiempo el producto de cuantos factores se quieran y, por añadidura, la potenciación de cualquier grado y puede extraer las raíces de cualquier índice (entero o quebrado). Los problemas de interés compuesto no pueden resolverse con las tablas de cuartos del cuadrado.

A pesar de eso siguieron publicándose las tablas de cuartos del cuadrado aún después de aparecer las de logaritmos de todas clases. En 1856 se editaron en Francia unas tablas tituladas: Tabla de los cuadrados de números del 1 al 1 000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números mediante un sistema sencillo en extremo y más cómodo que el de logaritmos. Compuestas por Alejandro Cossar.

preparado por Patricio Barros

Algebra Recreativa Yakov Perelman

Esta idea se les ocurre a muchos que ni sospechan que está ya superada. Se me han dirigido dos veces inventores de semejantes tablas creyendo se trataba de una novedad, enterándose con asombro que su invención data de hace tres siglos.

Otro de los rivales de los logaritmos, aunque más joven, son las tablas de cálculo que figuran en muchos manuales de consulta técnicos. Se trata de tablas generales que contienen las siguientes columnas: cuadrados y cubos, raíces cuadradas y cúbicas, números inversos, la longitud de la circunferencia y la superficie de círculos para números del 2 al 1 000. Estas tablas, a menudo muy cómodas para una serie de cálculos técnicos, son insuficientes; las de logaritmos tienen una esfera de aplicación considerablemente más extensa.

Volver

3. Evolución de las tablas de logaritmos

Hasta hace poco tiempo, en nuestras escuelas se empleaban tablas de logaritmos de cinco cifras. Actualmente se ha pasado a las de cuatro, por cuanto cubren las necesidades de los cálculos técnicos. Mas para la mayoría de las necesidades prácticas son más que suficientes las mantisas de 3 cifras, ya que las mediciones comunes raramente se realizan con más de tres cifras.

El empleo de mantisas con pocas cifras es bastante reciente. Recuerdo los tiempos en los que en nuestras escuelas se empleaban voluminosas tablas de logaritmos de 7 cifras, que fueron sustituidos por los de 5 sólo después de duro forcejeo. Al aparecer en 1794 las tablas de logaritmos de 7 cifras fueron tachadas de novedad inadmisible. Las primeras tablas de logaritmos decimales,

...