Logaritmos

LOGARITMACIÓN

Así como la radicación es la operación inversa de la potenciación, esta última también tiene una operación inversa denominada logaritmación. Esta “es la operación que permite hallar el exponente de un número”.

Dados los números b, n, x √(x&n)=b si solo si b^x=n

Definición: dado un número real n>0, y otro número real b>0 y ≠1, llamaremos LOGARITMO del número n en la base b, al exponente al que hay que elevar la base b , para obtener el número n.

En símbolos: x= log_b⁡〖n 〗<=>b^x=n

Esta expresión se lee: x es el logaritmo en base b de n; si y solo si: b^x=n

De la definición anterior se deducen las siguientes conclusiones:

El log_b⁡1=0, cualquiera sea b pues b^0=1 (para todo b)

El log_b⁡b=1, cualquiera sea b (b≠0)

Debe ser b≠1, pues si fuera b=1 se tendría:

log_1⁡〖n 〗=x<=> 1^x=n, luego el único número que tendría logaritmo es el 1.

Debe ser b≠0, pues si fuera b=0

log_0⁡n=x<=> 0^x=n, luego no existiría ningún número con logaritmo.

Definición: si b=10 se tiene los llamados logaritmos decimales. Para indicar dichos logaritmos se omite poner el número 10, es decir que:

x=log⁡〖n<=> 〗 〖10〗^x=n

Definición: si b=e =2,71828…, se tiene los llamados logaritmos neperianos o naturales. Para indicar los logaritmos naturales se escribe:

x=ln⁡n<=> e^x=n

Ejemplos:

log_2⁡8=3 pues 2^3=8

log_3⁡〖9=2〗 pues 3^2=9

log⁡〖100=2〗 pues 〖10〗^2=100

log_81⁡〖3=1/4〗 pues 〖81〗^(1/4)=∜81=3

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

A los efectos del planteo y la demostración de cada una de las propiedades que estudiaremos a continuación, vamos a considerar de antemano que se cumplen las condiciones de existencia.

Es decir, que los argumentos son positivos, y que las bases son positivas y diferentes de 1.

Propiedad 1:

Si utilizamos como exponente de un cierto número b el logaritmo de un número a en base b, obtendremos el número a.

Es decir:

b^log_b⁡a =a

Demostración: por definición sabemos que log_b⁡a=c<=>b^c=a

Entonces, sustituyendo c en la segunda igualdad obtendremos el resultado que queríamos demostrar:

b^log_b⁡a =a

Propiedad 2:

Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

log⁡〖b(a_1.a_2)=log_b⁡〖(a_1 )+ log_b⁡〖(a_2)〗 〗 〗

Demostración:

Basándonos en la propiedad 1 podemos escribir las siguientes dos igualdades:

a_1=b^log_b⁡〖(a_1)〗

a_2= b^log_b⁡〖(a_2)〗

Entonces, su producto será:

a_1.a_2= b^log_b⁡(a_1 ) .b^log_b⁡〖(a_2)〗

Y aplicando la propiedad sobre productos de potencias de la misma base:

a_1.a_2= b^log_b⁡〖(a_1 )+log_b⁡〖(a_2 〗)〗

Y ahora, por definición de logaritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar:

log_b⁡〖(a_1.a_2)=log_b⁡〖(a_1 )+log_b⁡〖(a_2 〗 〗 〗)

Propiedad 3:

Logaritmo de un cociente:

El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

log_b⁡〖(a_1 〗:a_2)=log_b⁡〖(a_1 )- log_b⁡〖(a_2)〗 〗

Demostración:

Basándonos otra vez a la propiedad 1 volvemos a escribir las siguientes dos igualdades:

a_1=b^log_b⁡〖(a_1)〗

a_2=b^log_b⁡〖(a_2)〗

Entonces el cociente será:

a_1: a_2=b^log_b⁡(a_1 )∶b^(log_b⁡〖(a_2 〗))

Y aplicando la propiedad sobre división de potencias de la misma base:

a_1:a_2= b^(log_b⁡〖(a_1)〗-log_b⁡〖(a_2)〗 )

Otra vez, por definición de logaritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar:

log_b⁡〖(a_1:a_2)=log_b⁡〖(a_1 )-log_b⁡〖(a_2)〗 〗 〗

Propiedad 4:

Logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Es decir:

log_b⁡〖(a^n )=n.log_b⁡〖(a)〗 〗

Demostración:

Tomamos otra vez como punto de partida la igualdad que surge de la propiedad 1:

a=b^log_b⁡〖(a)〗

Si elevamos ambos miembros al mismo exponente n, obtendremos:

a^n=〖〖(b〗^log_b⁡〖(a)〗 )〗^n

Aplicamos ahora la propiedad sobre potencia de una potencia:

a^n=b^(n.log_b⁡〖(a)〗 )

Nos bastara ahora aplicar, como en los casos anteriores, la definición de logaritmo para llegar a la fórmula

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