Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes escalares y vectoriales

INTRODUCCIÓN: El estudio del álgebra vectorial constituye actualmente un instrumento matemático esencial para abordar con profundidad el estudio de la Física y ciencias afines. Proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas ayudando a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.

LAS MAGNITUDES ESCALARES son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.

A LAS MAGNITUDES VECTORIALES no se las puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que actúan. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden.

Definición 1: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.

En la figura 1 se representa el vector a sobre la recta r, de origen O y extremo P. En adelante los vectores serán designados con letras mayúsculas o minúsculas en negrita.

Definición 2: Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es siempre un número positivo. Será representado mediante la letra sin negrita o como vector entre barras: mód v = v = v.

Definición 3: Dos vectores son iguales (llamados equipolentes por algunos autores) cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido.

En figura 2 es a = b. Esta definición corresponde a lo que se denominan vectores libres; o sea, vectores que pueden deslizar a lo largo de una recta y desplazarse paralelamente a sí mismos en el espacio. Son los que nos interesan y cumplen con las tres propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva) que se exigen a toda definición de equivalencia entre elementos de un conjunto.

COMPONENTES DE UN VECTOR

Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como referencia. De la misma forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema de referencia lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y ejes x, y, z.

P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son respectivamente el origen y el extremo del vector a.

Definición 4: Se denominan componentes de un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o sea a los números

En general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a. Estas componentes pueden ser números positivos o negativos (más adelante veremos que pueden ser funciones de una o más variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre las coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.

Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de igualdad de vectores se deduce que dos vectores iguales tienen las mismas componentes en cualquier sistema de coordenadas. Es más, los vectores y los resultados de las operaciones entre ellos tienen un significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio. Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo transforma en una herramienta tan potente.

Dado que el vector es la diagonal del paralelepípedo de figura 3, cuyas aristas son a1, a2 y a3, el módulo del vector a es

Adición y sustracción de vectores

Para sumar dos vectores a y b se procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a se lleva el vector b; el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es el vector suma a + b.

Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura 5.

Dado que la suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector resultante se obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes:

De esta definición se deduce que la adición de vectores es conmutativa: a + b = b + a.

El vector opuesto al vector v(v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y dirección que v pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2,

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