Matematicas Primer Grado

Sobre Pitágoras y su teorema

Si has estudiado matemáticas habrás podido observar que muchos teoremas y fórmulas se apoyan en el Teorema de Pitágoras. ¿Qué se puede decir sobre este teorema y sobre Pitágoras?.

De Pitágoras, se conoce poco, porque mucha de la documentación escrita sobre él, se ha perdido. Nacido en Samos, se sabe que viajó a Egipto y Babilonia, y posiblemente a la India, y fue casi exactamente contemporáneo de personajes de la importancia de Confucio, Buda y Lao-Tse. Pitágoras fundó una sociedad secreta, en la que todos los conocimientos e investigaciones sobre filosofía (que significa “amor a la sabiduría”) y matemáticas (que significa “aquello que se aprende”) eran mantenidos en régimen de comunidad. Por ello es mejor atribuir los descubrimientos que hicieron a las escuela pitagórica, más que a la propia persona de Pitágoras. Esta relación tan directa entre Filosofía y Matemáticas no es por casualidad: tuvieron un origen común y en la práctica no se han separado. Leibniz, Newton, Bertrand Russell, Descartes son ejemplos de grandes filósofos y matemáticos.

Casi con toda seguridad este teorema era conocido anteriormente a los pitagóricos, y su demostración no se les puede atribuir a ellos.

Una de las primeras demostraciones que se conocen del Teorema de Pitágoras es la que aparece en Los Elementos de Euclides, que vamos a ver a continuación. En su libro, Euclides explica que el Teorema de Pitágoras es una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo; lo cual en muchos libros de texto actuales no suele aparecer con suficiente claridad. Dicho de otra manera, la formulación del teorema de Pitágoras consta de dos partes, que Euclides separa en dos proposiciones diferentes. Son las siguientes:

•En un triángulo rectángulo, se cumple que los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual a la longitud de la hipotenusa al cuadrado, siendo la hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos los lados contiguos.

•En un triángulo, en el que la longitud de un lado, al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, se cumple que el ángulo opuesto a este primer lado mide 90°. Es decir es un triángulo rectángulo.

En Matemáticas a este tipo de teoremas se les llama de “condición necesaria y suficiente”. La primera afirmación se dice que una condición necesaria y la segunda se dice que es una condición suficiente. Así el enunciado completo y correcto del Teorema de Pitágoras debería ser como sigue: “La condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que la longitud del lado opuesto al ángulo recto (llamado hipotenusa) al cuadrado, sea igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (llamados catetos)”.

La demostración de Euclides, que vamos a ver, corresponde a la primera afirmación del teorema de Pitágoras. Intenta tú demostrar la segunda.

No hace falta explicar cómo se ha construido la figura situada más abajo. A muchos esta figura les ha parecido semejante a un molino de viento, una cola de pavo real, e incluso se la ha llamado silla de la novia.

Supongamos que el triángulo ABC es rectángulo en C. Llamamos, como es habitual, a los lados opuestos a los vértices, con la correspondiente letra minúscula. Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide c, y los catetos a y b.

En la figura, CJ es perpendicular al lado HI; además DK es paralelo a EB y BK paralelo a ED. Por lo cual EDBK es un rectángulo. Entonces tendremos:

•La superficie del triángulo DAB es (1/2)DA•BK = (1/2)•b2. Por tanto la superficie del cuadrado sobre el lado AC es doble de la superficie del triángulo DAB. Este triángulo es igual al triángulo CAH (Demuestra tú esta última afirmación).

•El doble de la superficie del triángulo CAH, es igual a la superficie del rectángulo MAHJ. En consecuencia el cuadrado sobre el lado b, tiene la misma

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