Matemáticas

Preliminares: Resolución de f(x)=0 en .

1) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 0.t=5? ¿Y la ecuación 0.t=0? ¿Y soluciones complejas?

2) Encontrar las soluciones enteras de la ecuación 2.t=1. Suponemos ahora que a es un número entero arbitrario ¿bajo que condiciones la ecuación a.t=1 tiene solución en ?

3) Suponemos ahora que a es un número racional arbitrario ¿bajo que condiciones la ecuación a.t=1 tiene solución en ? ¿y si ? ¿y si ?

4) Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

a. F(t)=t100-2100.

b. F(t)=t6-2t5-7t3+14t2+35t-70

c. 9t4+34t3-55t2+4t+20.

5) Mostrar sin evaluar, que tanto 42 como 103 no son soluciones de 52t3+42t2-43t+85=0?¿y 17?

6) Mostrar que si es raíz de un polinomio f con coeficientes enteros, entonces |k| es menor o igual que el de f(0)?

7) Mostrar que si f(0) es impar entonces f no tiene raíces pares.

8) Las raíces enteras de se encuentran entre los divisores de 1371. Como f tiene grado 4, a lo sumo puede tener 4 raíces enteras. Dado que 1371=3.457, las posibilidades son 1, 3, 457, 1371. Es fácil ver que -1, ni 1 son raíces. Para seguir deberíamos evaluar f en estos valores. Pero antes vamos a tratar por otro lado.

a. Supongamos que 3 es raíz de f. Mostrar que entonces 3 debería ser raíz de 2t3+4t2-301t-400 y obtener una contradicción.

b. Si -3 es raíz de f entonces debe ser raíz de 2t3+4t2-301t+514. Nuevamente obtener una contradicción.

c. Proceder de manera análoga con 457, 1371. Concluir que f no tiene raíces enteras.

d. ¿Tuvimos necesidad de evaluar?

9) Hacer un estudio análogo al hecho en el ejercicio 8) con la ecuación 43t4-37t3+401t2-6=0. Los candidatos a soluciones enteras son 1, 2, 3 y 6.

a) Verificar que 1 y -1 no son soluciones de la ecuación.

b) Siguiendo las ideas del ejercicio 8) estudiar si alguno de los números 2, 3 y 6. podría ser raíz.

10) Probar que el polinomio f(t)=2.t4+4.t3-3.t2+55.t-13 no tiene raíces impares. Concluir que no tiene raíces enteras.

Algoritmo de división y MCD. Algoritmo de Euclides.

1) Hacer el ejercicio 2.15 del apunte notas de álgebra.

2) Hacer el ejercicio 2.16.

3) Hacer el ejercicio 2.26 menos el ítem 4).

4) Hacer el ejercicio 2.27, menos los ítems 8), 11), 12) b), c), f) .

5) Hacer ejercicio que se encuentra después de la proposición 2.30 menos los ítems, 5) 6), 7) 9) 10) 11).

6) Hacer ejercicios 2.31 y 2.32.

7) Hacer 2.34 ítem 1).

8) Hacer ejercicios 2.35, 2.36, 2.37 ítem 1).

9) Hacer ejercicio 2.38 ítem 1), 2).

Ecuaciones diofánticas.

1) Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones:

a. 2x+3y=7

b. 21x-35y=-14.

c. 12x+26y=7

2) ¿De cuántas formas posibles se pueden tener 325 pesos repartidos en billetes de 10 y 25 pesos?

3) Si se reparten 160 monedas iguales entre una cierta cantidad de personas de manera que cada hombre reciba 14 monedas y cada mujer reciba 10 monedas ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?

4) Hacer ejercicios 2.42, 2.43 y 2.44.

Congruencias. Ecuaciones lineales de congruencias.

1) Hacer ejercicio 3.2, 3.3.

2) Hacer ejercicios 3.5, 3.6

3) Hacer ejercicios 3.8, 3.9 y 3.10.

4) Hacer ejercicios 3.13, 3.16.

5) Hacer ejercicio 3.20.

6) Calcular el resto de la división de 712 por 11.

7) Calcular el resto de la división 221 por 13.

8) Calcular 31000 mod(7), 246218 mod(11), 23361 mod(3), 76100 mod(11).

9) Hacer ejercicio 3.18.

Teorema Chino del resto

1) hacer ejercicio 2.52.

2) Una banda de 13 pitaras

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