Matemáticas

Preliminares: Resolución de f(x)=0 en .

1) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 0.t=5? ¿Y la ecuación 0.t=0? ¿Y soluciones complejas?

2) Encontrar las soluciones enteras de la ecuación 2.t=1. Suponemos ahora que a es un número entero arbitrario ¿bajo que condiciones la ecuación a.t=1 tiene solución en ?

3) Suponemos ahora que a es un número racional arbitrario ¿bajo que condiciones la ecuación a.t=1 tiene solución en ? ¿y si ? ¿y si ?

4) Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

a. F(t)=t100-2100.

b. F(t)=t6-2t5-7t3+14t2+35t-70

c. 9t4+34t3-55t2+4t+20.

5) Mostrar sin evaluar, que tanto 42 como 103 no son soluciones de 52t3+42t2-43t+85=0?¿y 17?

6) Mostrar que si es raíz de un polinomio f con coeficientes enteros, entonces |k| es menor o igual que el de f(0)?

7) Mostrar que si f(0) es impar entonces f no tiene raíces pares.

8) Las raíces enteras de se encuentran entre los divisores de 1371. Como f tiene grado 4, a lo sumo puede tener 4 raíces enteras. Dado que 1371=3.457, las posibilidades son 1, 3, 457, 1371. Es fácil ver que -1, ni 1 son raíces. Para seguir deberíamos evaluar f en estos valores. Pero antes vamos a tratar por otro lado.

a. Supongamos que 3 es raíz de f. Mostrar que entonces 3 debería ser raíz de 2t3+4t2-301t-400 y obtener una contradicción.

b. Si -3 es raíz de f entonces debe ser raíz de 2t3+4t2-301t+514. Nuevamente obtener una contradicción.

c. Proceder de manera análoga con 457, 1371. Concluir que f no tiene raíces enteras.

d. ¿Tuvimos necesidad de evaluar?

9) Hacer un estudio análogo al hecho en el ejercicio 8) con la ecuación 43t4-37t3+401t2-6=0. Los candidatos a soluciones enteras son 1, 2, 3 y 6.

a) Verificar que 1 y -1 no son soluciones de la ecuación.

b) Siguiendo las ideas del ejercicio 8) estudiar si alguno de los números 2, 3 y 6. podría ser raíz.

10) Probar que el polinomio f(t)=2.t4+4.t3-3.t2+55.t-13 no tiene raíces impares. Concluir que no tiene raíces enteras.

Algoritmo de división y MCD. Algoritmo de Euclides.

1) Hacer el ejercicio 2.15 del apunte notas de álgebra.

2) Hacer el ejercicio 2.16.

3) Hacer

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