Matematica

UNIDAD I

SISTEMAS NUMERICOS

NÚMEROS REALES./ La noción acerca de los números surgió en la antigüedad ampliándose y generalizándose con el tiempo. Los números 1. 2, 3. 4... aparecieron debido a la necesidad de contar objetos de diferentes conjuntos. Es la sucesión de números se llama Números Naturales y se nota por N .

Es decir N = {1.2, 3. 4....} si se agrega a este conjunto el cero se obtiene el conjunto de los números entero positivos que se designan por Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,....}.

Las deficiencias de los números enteros positivos puede ser remediadas en parte extendiendo este sistema al conjunto de los enteros que se designa por:

Z = {....,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,...}

La medición de diferentes magnitudes hizo necesario ampliar el conjunto de los números enteros e introducir los números racionales, notado por , un número racional puede escribirse en forma de fracciones diferentes como:

Como el uso de los números es ilimitado. Por ejemplo al resolver la ecuación x2-2 = 0 , se tiene que ; surge entonces la necesidad de un sistema más amplio que incluya este tipo de números. Los números decimales indefinidos no periódicos se llaman irracionales y se notan por I.

El conjunto de números racionales e irracionales se denominan reales y están representados por R es decir: .

Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en la cual están definidos:

- Un punto cero que se denomina origen.

- Una dirección positiva que se indica con una flecha

- Una escala para medir longitudes.

En general el eje numérico se dispone en posición horizontal, considerando positivo la dirección a la derecha del punto 0.

Como en la matemática la resolución de problemas es infinita y particularmente al resolver la ecuación x2 + 1 = 0 cuya solución no pertenece al campo de los reales, ya que no existe un número cuyo cuadrado sea negativo, por eso surge un nuevo sistema llamado conjunto de números complejos y se nota por C. En el siguiente diagrama se ilustra el conjunto de números.

1.1 INTERVALOS

Definición: Sean a. b R y a < b.

1.1.1 INTERVALO CERRADO

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto de los x tales que a x b. Se nota: .Gráficamente en el eje numérico

1.1.2 INTERVALO ABIERTO

Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de los x tales que: a < X < b. Se nota:

= {x R/a<x<b}

Gráficamente en el eje numérico

1.1.3 INTERVALO SEMIABIERTO A DERECHA

Se llama intervalo semiabierto a derecha al conjunto de los x tales que

a x < b. Se nota . Gráficamente en el eje numérico

1.1.4 INTERVALO SEMIABIERTO A IZQUIERDA

Se llama intervalo semiabierto a izquierda al conjunto de los x tales que a < x b. Se nota Gráficamente en el eje numérico

1.1.5 INTERVALOS INFINITOS

a)

b)

c)

d)

1.1.6 OTROS INTERVALOS

1.1.7 OPERACIONES CON INTERVALOS

Entre intervalos realizamos todas las operaciones que se ejecutan con los conjuntos. Sean A y B dos intervalos cualesquiera de R. Se tiene entonces:

1.2 EJERCICIO:

Dados los siguientes intervalos realizar las operaciones indicadas, utilizando la parte grafica, forma de intervalo y analítica para representar la respuesta.

A= {x / } , B = {x / } realizar

a) ,

...