Mecanica

MECANICA TEORÍA

Momento

M ⃗_p^a ⃗ =(A_1-P)x a ⃗

M ⃗_p^a ⃗ =(A_2-P)x a ⃗

(A_1-P)=(A_2-P)+(A_1-A_2 )

M ⃗_p^a ⃗ =(A_1-P)x a ⃗=[(A_2-P)+(A_1-A_2 )]x a ⃗

=(A_2-P)x a ⃗+(A_1-A_2 ) x a ⃗=(A_2-P)x a ⃗

Entonces

M ⃗_p^a ⃗ =(A_i-P)x a ⃗ ∀A_i ∈recta sostén de a ⃗

Sistema Par o Cupla de Vectores

Es un sistema de dos vectores deslizables de la misma magnitud que están en distintas rectas sostén con la misma dirección pero sentido contrario

Por principio de superposición:

M ⃗_p^cupla=M ⃗_p^(a ⃗(M))+M ⃗_p^(a ⃗(N))=

=(M-P) x a ⃗+(N-P) x (–a ⃗ )=(M-P) x a ⃗+(P-N) x a ⃗=

M ⃗_p^cupla=[(M-P)+(P-N)] x a ⃗=(M-N) x a ⃗ → es un vector libre

El momento de la cupla es independiente del punto P elegido.

Teorema de Varignon

Para un sistema de vectores concurrentes deslizantes, el momento resultante es igual a la suma de los momentos de cada uno de los vectores que integran el sistema, cualquiera fuera el punto elegido como centro de momento.

R ⃗=∑▒a ⃗_i

M ⃗_p^R ⃗ =M ⃗_p^(a ⃗_1 )+M ⃗_p^(a ⃗_1 )+⋯+M ⃗_p^(a ⃗_n )

El vector momento no se conserva en general.

Sistema equivalente

Invariante vectorial:

El vector R asociado a un punto no cambia en relación con sus componentes.

R ⃗_o=R ⃗_(o_1 )=⋯=R ⃗_(o_n )

Invariante escalar:

Si tengo dos centros de reducción:

M ⃗_(o_1 )=M ⃗_o+ΔM ⃗=M ⃗_o+(O-O_1 ) x R ⃗_o

R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_(o_1 )=R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_o+R ⃗_(o_1 ) . [(O-O_1 ) x R ⃗_o]

El producto escalar entre R y M debe ser constante no importa el punto elegido:

R ⃗_o . M ⃗_o=R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_(o_1 )

Eje central

Se define eje central de un sistema de vectores deslizantes a aquella línea recta del espacio en la cual cualquier punto de ella elegido como centro de reducción produce un vector momento paralelo al invariante vectorial. Ese vector momento es de mínimo módulo respecto de cualquier otro punto del espacio.

|M ⃗_⊥ |=d . |R ⃗_0 |

d=|M ⃗_⊥ |/|R ⃗_0 |

|R ⃗_0 x M ⃗_0 |=|R ⃗_0 | |M ⃗_0 | sin⁡θ

|M ⃗_⊥ |= |M ⃗_0 | sin⁡θ=|M ⃗_0 ||R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 | |M ⃗_0 | )

|M ⃗_⊥ |=|R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 | )

d=|R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 |^2 )

El versor normal

n ̂=(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 x M ⃗_0 |

n ̂ .d=(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 |^2 =(x_E-x_0 )+(y_E-y_0 )+(z_E-z_0 )

r ⃗_ec=r ⃗_0+n ̂ .d

r ⃗_ec=r ⃗_0+(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 |^2

Cosenos directores del eje central

(x_E-x_0)/cos⁡α =(y_E-y_0)/cos⁡β =(z_E-z_0)/cos⁡γ

Cinemática de la partícula

r ⃗=(P-O)=x(t) i ̂+y(t) j ̂+z(t) k ̂

Velocidad

v ⃗_m=(r ⃗(t_2 )-r ⃗(t_1))/(t_2-t_1 )

v ⃑=(lim)┬(Δt→0)⁡〖(r ⃗(t+Δt)-r ⃗(t))/Δt〗=(r ⃗ ) ̇(t)

v ⃗=x ̇(t) i ̂+y ̇(t) j ̂+z ̇(t) k ̂

Aceleración

a ⃗_m=(v ⃗(t_2 )-v ⃗(t_1))/(t_2-t_1 )

a ⃑=(lim)┬(Δt→0)⁡〖(v ⃗(t+Δt)-v ⃗(t))/Δt〗=(v ⃗ ) ̇(t)=(r ⃗ ) ̈(t)

a ⃗=x ̈(t) i ̂+y ̈(t) j ̂+z ̈(t) k ̂

El recorrido:

∫_(t_1)^(t_2)▒〖|dr ⃗|〗=∫_(t_1)^(t_2)▒√(x ̇^2+y ̇^2+z ̇^2 ) dt

Coordenadas intrínsecas (Triedro de Frenet)

Versor tangente

e ̂_t=(P_2-P_1)/(|P_2-P_1 |)

Versor normal

e ̂_n=(C-P_1)/(|C-P_1 |)

Donde C es el centro de la circunferencia osculatriz

Versor binormal

e ̂_b=e ̂_t x e ̂_n

No se habla de posición pero sí del vector velocidad

v ⃑=(lim)┬(Δt→0)⁡〖((P_2-P_1))/Δt=(lim)┬(Δt→0)⁡〖((P_2-P_1))/(|P_2-P_1 |) (|P_2-P_1 |)/Δt=〗 〗

v ⃑=s ̇e ̂_t

S es la longitud del camino y S ̇=d(longitud de camino)/dt

a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇ (de ̂_t)/dt

(de ̂_t)/dt=θ ̇e ̂_n

θ ̇=|v ⃗ |/ρ=(s/ρ) ̇ donde ρ es el radio de la circunferencia osculatriz

a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇ θ ̇e ̂_n

a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇^2/ρ e ̂_n

Coordenadas polares

Versor radial

e ̂_r=(P-O)/(|P-O|)

Versor transversal

e ̂_θ⊥e ̂_r y girado π/2

Las derivadas de los versores son:

(de ̂_r)/dt=θ ̇e ̂_θ

(de ̂_θ)/dt=-θ ̇e ̂_r

r ⃗=re ̂_r

v ⃗=(r ⃗ ) ̇=(r ) ̇e ̂_r+r (de ̂_r)/dt=(r ) ̇e ̂_r+rθ ̇e ̂_θ

a ⃗=(v ⃗ ) ̇=(r ) ̈e ̂_r+r ̇θ ̇e ̂_θ+r ̇θ ̇e ̂_θ+rθ ̈e ̂_θ+r ̇θ ̇(-θ ̇e ̂_r )

a ⃗=((r ) ̈-r ̇θ ̇^2 ) e ̂_r+(rθ ̈+2r ̇θ ̇ ) e ̂_θ

Coordenadas cilíndricas

Se mantienen el versor radial (ahora eρ) y el transversal, los cuales son siempre paralelos al plano xy, y aparece el versor z que no cambia de dirección. Ρ es la distancia al eje z. Entonces:

(de ̂_z)/dt=0 ⃗

r ⃗=ρe ̂_ρ+ze ̂_z

v ⃗=(r ⃗ ) ̇=(ρ ) ̇e ̂_ρ+ρθ ̇e ̂_θ+z ̇e ̂_z

a ⃗=(v ⃗ ) ̇=((ρ ) ̈-ρ ̇θ ̇^2 ) e ̂_ρ+(ρθ ̈+2ρ ̇θ ̇ ) e ̂_θ+z ̈e ̂_z

Cinemática relativa

Moverse sin girar

r ⃗=r ⃗_o'+r ⃗'

v ⃗=v ⃗_o'+v ⃗'

a ⃗=a ⃗_o'+a ⃗'

Para ternas en traslación y rotación

Regla de derivación de Coriolis o teorema de Coriolis

├ (dM^')/dt]_(OBS I)=├ (dM^')/dt]_(OBS II)+ω ⃗ x M ⃗'

r ⃗=r ⃗_o'+r ⃗'

├ (dr ⃗')/dt]_(OBS I)=├ (dr ⃗')/dt]_(OBS II)+ω ⃗ x r ⃗^'=v ⃗^'+ω ⃗ x r ⃗'

v ⃗=(dr ⃗)/dt=v ⃗_o'+v ⃗^'+ω ⃗ x r ⃗'

(dv ⃗)/dt=a ⃗_o'+├ (dv ⃗')/dt]_(OBS II)+ω ⃗ x v ⃗'+(ω ⃗ ) ̇ x r ⃗^'+ω ⃗ x (├ (dr ⃗')/dt]_(OBS II)+ω ⃗ x r ⃗^' )

a ⃗=(dv ⃗)/dt=a ⃗_o'+a ⃗^'+(ω ⃗ ) ̇ x r ⃗^'+ω ⃗ x (ω ⃗ x r ⃗^' )+2ω ⃗ x v ⃗'

Cantidad de movimiento

p ⃗=m v ⃗

Impulso

I ⃗=∫_(t_1)^(t_2)▒F ⃗ (t)dt=∫_(t_1)^(t_2)▒〖m (dv ⃗)/dt〗 dt=m∫_(v ⃗(t_1 ))^(v ⃗(t_2 ))▒〖 dv ⃗ 〗=mv ⃗(t_2 )-mv ⃗(t_1 )=

I ⃗=p ⃗(t_2 )-p ⃗(t_1 )=Δp ⃗

Primera ecuación cardinal de la dinámica:

F ⃗=ma ⃗=m (dv ⃗)/dt=d(mv ⃗ )/dt=(dp ⃗)/dt

Teorema del trabajo y la energía cinética

W_(1→2)^F=∫_(1→2)^ ▒〖dW^F 〗=∫_(1→2)^ ▒〖〖(F〗_x dx+F_y dy+F_z dz)〗

=∫_(1→2)^ ▒(m (dv ⃗_x)/dt dx+m (dv ⃗_y)/dt dy+m (dv ⃗_z)/dt dz) =∫_(1→2)^ ▒(mv ⃗_x dv ⃗_x+mv ⃗_y dv ⃗_y+mv ⃗_z dv ⃗_z )

=1/2 m [(v_x^2 (2)+v_y^2 (2)+v_z^2 (2))-(v_x^2 (2)+v_y^2 (2)+v_z^2 (2))]

=1/2 m (v^2 (2)-v^2 (1))

Definimos

T=1/2 m v^2

Entonces

W_(1→2)^F=ΔT

El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica.

Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es 0, entonces la energía mecánica del sistema se mantiene constante.

W_(1→2)^Fc=ΔT+ΔU_g+ΔU_e

Si W_(1→2)^Fc=0 → E_mec^sist=ctte

Momento cinético

H ⃗_0=r ⃗ x p ⃗

Segunda ecuación cardinal de la dinámica

(dH ⃗_0)/dt=(dr ⃗)/dt x p ⃗+r ⃗ x (dp ⃗)/dt=v ⃗ x mv ⃗+r ⃗ x F ⃗=r ⃗ x F ⃗=M ⃗_0^F

Fuerza conservativa

Es aquella fuerza que circulándola por un camino cerrado cualquiera da trabajo 0.

∮▒〖F ⃗ . dr ⃗ 〗=0

Energía potencial gravitatoria

U_g (∞)=0

U_g (r)=∫_(∞→r)^ ▒F ⃗_ext .dr ⃗=∫_(∞→r)^ ▒〖G Mm/r^2 〗 e ̂_r (e ̂_r dr+rdθe ̂_θ)=

U_g (r)=G Mm ∫_∞^r▒dr/r^2 =-G Mm/r

Resorte

F_ext=k(r-r_0 ) e ̂_r

W_(A→B)^F=∫_(A→B)^ ▒F ⃗ .dr ⃗=∫_(A→B)^ ▒〖-k(r-r_0 ) e ̂_r . 〗(e ̂_r dr+rdθe ̂_θ)=

W_(A→B)^F=-k∫_(r_A)^(r_B)▒(r-r_0 )dr=-k/2 [(r_B-r_0 )^2-(r_A-r_0 )^2 ]

Masa Total

m_T=∑_(i=1)^n▒m_i

Centro de masa

r ⃗_c=(m_1 r ⃗_1+m_2 r ⃗_2+⋯+m_n r ⃗_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n )=(∑_(i=1)^n▒〖m_i r ⃗_i 〗)/m_T

v ⃗_c=(m_1 v ⃗_1+m_2 v ⃗_2+⋯+m_n v ⃗_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n )=(∑_(i=1)^n▒〖m_i v ⃗_i 〗)/m_T =(∑_(i=1)^n▒p ⃗_i )/m_T

a ⃗_c=(m_1 a ⃗_1+m_2 a ⃗_2+⋯+m_n a ⃗_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n )=(∑_(i=1)^n▒〖m_i a ⃗_i 〗)/m_T =(∑_(i=1)^n▒R ⃗_i )/m_T

R ⃗_i=F ⃗_i+∑_(j=1 j≠i)^n▒F ⃗_ji =m_i a ⃗_i

La sumatoria de las n ecuaciones:

R ⃗_i=∑_(i=1)^n▒R ⃗_i =∑_(i=1)^n▒F ⃗_i +∑_(i=1)^n▒(∑_(j=1 j≠i)^n▒F ⃗_ji ) =∑_(i=1)^n▒〖m_i a ⃗_i 〗

Primera ecuación cardinal de los sistemas de partículas

R ⃗_i=∑_(i=1)^n▒R ⃗_i =∑_(i=1)^n▒F ⃗_i =∑_(i=1)^n▒〖m_i a ⃗_i 〗=m_T a ⃗_c

El impulso de la resultante

I ⃗_(R sist)=∫_(t_1)^(t_2)▒∑_(i=1)^n▒F ⃗_i dt=∫_(t_1)^(t_2)▒〖m_T a ⃗_c 〗 dt=∫_(〖v_c (t〗_1))^(〖v_c (t〗_2))▒〖m_T (dv ⃗_c)/dt〗 dt=m_T v ⃗_c (t_2 )-m_T v ⃗_c (t_1 )

I ⃗_(R sist)=p ⃗_sist (t_2 )-p ⃗_sist (t_1 )=Δp ⃗_sist

Vector momento cinético

H ⃗_o^sist=∑_(i=1)^n▒〖r ⃗_i x p ⃗_i 〗

Segunda ecuación

...