Mecanica
Enviado por gab_espana • 24 de Junio de 2014 • Tareas • 3.180 Palabras (13 Páginas) • 206 Visitas
MECANICA TEORÍA
Momento
M ⃗_p^a ⃗ =(A_1-P)x a ⃗
M ⃗_p^a ⃗ =(A_2-P)x a ⃗
(A_1-P)=(A_2-P)+(A_1-A_2 )
M ⃗_p^a ⃗ =(A_1-P)x a ⃗=[(A_2-P)+(A_1-A_2 )]x a ⃗
=(A_2-P)x a ⃗+(A_1-A_2 ) x a ⃗=(A_2-P)x a ⃗
Entonces
M ⃗_p^a ⃗ =(A_i-P)x a ⃗ ∀A_i ∈recta sostén de a ⃗
Sistema Par o Cupla de Vectores
Es un sistema de dos vectores deslizables de la misma magnitud que están en distintas rectas sostén con la misma dirección pero sentido contrario
Por principio de superposición:
M ⃗_p^cupla=M ⃗_p^(a ⃗(M))+M ⃗_p^(a ⃗(N))=
=(M-P) x a ⃗+(N-P) x (–a ⃗ )=(M-P) x a ⃗+(P-N) x a ⃗=
M ⃗_p^cupla=[(M-P)+(P-N)] x a ⃗=(M-N) x a ⃗ → es un vector libre
El momento de la cupla es independiente del punto P elegido.
Teorema de Varignon
Para un sistema de vectores concurrentes deslizantes, el momento resultante es igual a la suma de los momentos de cada uno de los vectores que integran el sistema, cualquiera fuera el punto elegido como centro de momento.
R ⃗=∑▒a ⃗_i
M ⃗_p^R ⃗ =M ⃗_p^(a ⃗_1 )+M ⃗_p^(a ⃗_1 )+⋯+M ⃗_p^(a ⃗_n )
El vector momento no se conserva en general.
Sistema equivalente
Invariante vectorial:
El vector R asociado a un punto no cambia en relación con sus componentes.
R ⃗_o=R ⃗_(o_1 )=⋯=R ⃗_(o_n )
Invariante escalar:
Si tengo dos centros de reducción:
M ⃗_(o_1 )=M ⃗_o+ΔM ⃗=M ⃗_o+(O-O_1 ) x R ⃗_o
R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_(o_1 )=R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_o+R ⃗_(o_1 ) . [(O-O_1 ) x R ⃗_o]
El producto escalar entre R y M debe ser constante no importa el punto elegido:
R ⃗_o . M ⃗_o=R ⃗_(o_1 ) . M ⃗_(o_1 )
Eje central
Se define eje central de un sistema de vectores deslizantes a aquella línea recta del espacio en la cual cualquier punto de ella elegido como centro de reducción produce un vector momento paralelo al invariante vectorial. Ese vector momento es de mínimo módulo respecto de cualquier otro punto del espacio.
|M ⃗_⊥ |=d . |R ⃗_0 |
d=|M ⃗_⊥ |/|R ⃗_0 |
|R ⃗_0 x M ⃗_0 |=|R ⃗_0 | |M ⃗_0 | sinθ
|M ⃗_⊥ |= |M ⃗_0 | sinθ=|M ⃗_0 ||R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 | |M ⃗_0 | )
|M ⃗_⊥ |=|R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 | )
d=|R ⃗_0 x M ⃗_0 |/(|R ⃗_0 |^2 )
El versor normal
n ̂=(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 x M ⃗_0 |
n ̂ .d=(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 |^2 =(x_E-x_0 )+(y_E-y_0 )+(z_E-z_0 )
r ⃗_ec=r ⃗_0+n ̂ .d
r ⃗_ec=r ⃗_0+(R ⃗_0 x M ⃗_0)/|R ⃗_0 |^2
Cosenos directores del eje central
(x_E-x_0)/cosα =(y_E-y_0)/cosβ =(z_E-z_0)/cosγ
Cinemática de la partícula
r ⃗=(P-O)=x(t) i ̂+y(t) j ̂+z(t) k ̂
Velocidad
v ⃗_m=(r ⃗(t_2 )-r ⃗(t_1))/(t_2-t_1 )
v ⃑=(lim)┬(Δt→0)〖(r ⃗(t+Δt)-r ⃗(t))/Δt〗=(r ⃗ ) ̇(t)
v ⃗=x ̇(t) i ̂+y ̇(t) j ̂+z ̇(t) k ̂
Aceleración
a ⃗_m=(v ⃗(t_2 )-v ⃗(t_1))/(t_2-t_1 )
a ⃑=(lim)┬(Δt→0)〖(v ⃗(t+Δt)-v ⃗(t))/Δt〗=(v ⃗ ) ̇(t)=(r ⃗ ) ̈(t)
a ⃗=x ̈(t) i ̂+y ̈(t) j ̂+z ̈(t) k ̂
El recorrido:
∫_(t_1)^(t_2)▒〖|dr ⃗|〗=∫_(t_1)^(t_2)▒√(x ̇^2+y ̇^2+z ̇^2 ) dt
Coordenadas intrínsecas (Triedro de Frenet)
Versor tangente
e ̂_t=(P_2-P_1)/(|P_2-P_1 |)
Versor normal
e ̂_n=(C-P_1)/(|C-P_1 |)
Donde C es el centro de la circunferencia osculatriz
Versor binormal
e ̂_b=e ̂_t x e ̂_n
No se habla de posición pero sí del vector velocidad
v ⃑=(lim)┬(Δt→0)〖((P_2-P_1))/Δt=(lim)┬(Δt→0)〖((P_2-P_1))/(|P_2-P_1 |) (|P_2-P_1 |)/Δt=〗 〗
v ⃑=s ̇e ̂_t
S es la longitud del camino y S ̇=d(longitud de camino)/dt
a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇ (de ̂_t)/dt
(de ̂_t)/dt=θ ̇e ̂_n
θ ̇=|v ⃗ |/ρ=(s/ρ) ̇ donde ρ es el radio de la circunferencia osculatriz
a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇ θ ̇e ̂_n
a ⃑=s ̈e ̂_t+s ̇^2/ρ e ̂_n
Coordenadas polares
Versor radial
e ̂_r=(P-O)/(|P-O|)
Versor transversal
e ̂_θ⊥e ̂_r y girado π/2
Las derivadas de los versores son:
(de
...