Minimos cuadrados

MINIMOS CUADRADOS

Minimos cuadrados es una tecnica de analisis numerico enmarcada dentro de la optimizacion matematica, en la que dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable independiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la funcion continua, dentro de dicha familia para encontrar a los datos que mejor se aproximen

Teniendo en cuenta que minimos cuadrados solo proporciona una estimacion probabilistica de la ecuacion que representa a unos datos experimentales.

Minimos cuadrados es la diferencia de una serie de datos calculados y experimentales que al sumarse todas las posibilidades nos debe de dar la minima expresion

Definicion Matematica de minimos cuadrados

∑_(i=1)^n▒〖(〖y_c1-y_c2)〗^2=min〗

En donde la definicion matematica nos dice que la diferencia de la (〖y_c1-y_c2)〗^2 sumadas todas las posibilidades nos debe de dar la menor exprecion

y_c1 representa las Y experimentales

Los datos experimentales son propuestos por los ejes de X y Y

y_c2 Representa las Y calculadas

Para sacar Y calculada se tiene que utilizar

y_c2=mx+b

- m siendo la pendiente

- b la ordenada al origen

Entonces suponiendo que llamamos D a la Ycalculada

D=∑_(i=1)^n▒〖(〖y-mx-b)〗^2=min〗

Se saca la Derivada Parcial porque hay dos variables con respecto de “m” y “b”

NOTA: No se deriva con respecto de X y Y porque son constantes y da derivada de una consante nos da CERO

Por lo tanto

〖du〗^m/dx=mu^(m-1) du/dx

Con respecto de “b” (Ordenada al Origen)

∂D/∂b=2∑_(i=1)^n▒〖(y-mx-b)(-1)=0〗

Con respecto de “m” ( Pendiente )

∂D/∂m=2∑_(i=1)^n▒〖(y-mx-b)(-x)=0〗

Resolviendo

∑▒〖(y-mx-b)=0 (1)〗

∑▒〖(yx-mx^2-bx)=0 (2)〗

∑▒〖y-m∑▒〖x-nb=0〗 ( 1´ )〗

∑▒〖yx-m∑▒〖x^2-b∑▒x=0〗 ( 2´ )〗

Despejando “b” de la ecuacion (1´)

b=(∑▒〖y-m∑▒x〗)/n

Despejando “b” en la ecuacion 2

∑▒〖yx-m∑▒〖x^2-((∑▒〖y-m∑▒x〗)/n) ∑▒x=0〗〗

∑▒〖yx-m∑▒〖x^2-((∑▒〖y-m∑▒x〗)/n)-(m(∑▒〖x)〗^2)/n=0〗〗

Queremos encontrar “m” entonces podemos multiplicar toda la ecuacion por n/n para poder eliminar las “n” que se encuentran en nuestra ecuacion sin afectarla

n/n ∑▒〖yx-m∑▒〖x^2-((∑▒〖y-m∑▒x〗)/n)-(m(∑▒〖x)〗^2)/n=0〗〗

Factorizando “m”

m=[(∑▒〖x)〗^2-n∑▒〖x^2)]=∑▒〖y∑▒〖x-n∑▒yx〗〗〗

Entonces la ecuacion para encontrar “m” sera

m=(∑▒y ∑▒x-n∑▒yx)/((∑▒x^2 )-n∑▒x^2 )

Teniendo la ecuacion para econtrar m ponemos sustituir en la ecuacion (1´) para encontrar “b”

Sustituyendo en la ecuacion (1’) m

...