Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

[pic 1]

[pic 2]

Evolución respecto del tiempo de la posición, de la velocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante, es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor. Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la de la gravedad.

También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

[pic 3]Movimiento acelerado en mecánica newtoniana [editar]

En mecánica clásica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

(1) [pic 4]

La velocidad V para un instante t dado es:

(2a) [pic 5]

siendo [pic 6]la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3) [pic 7]

donde [pic 8]es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del movil. Esta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y substituyendo el resultado en (3):

(2b) [pic 9]

Plegar 

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

[pic 10]

Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

[pic 11]

integrando la ecuación:

[pic 12]

sacando valores constantes de la integral:

[pic 13]

resolviendo la integral:

[pic 14]

Donde: [pic 15]es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para [pic 16], en el caso de que el móvil esté en reposo para [pic 17]entonces [pic 18].

Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

1. [pic 19]
2. [pic 20]

esto es:

[pic 21]

despejando términos:

[pic 22]

integrando la ecuación:

[pic 23]

descomponiendo la integral:

[pic 24]

sacando valores constantes de la integral:

[pic 25]

resolviendo la integral:

[pic 26]

Donde [pic 27]es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para [pic 28]. En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para [pic 29]es [pic 30].

Ecuación no horaria simple [editar]

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, eliminando el tiempo. Partiendo de las ecuaciones de la velocidad y del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

1. [pic 31]
2. [pic 32]

Para simplificar consideremos que:

1. [pic 33]
2. [pic 34]

y que el movimiento rectilíneo, no necesita representación vectorial, estando las variables representaras por su módulo, con cual tendremos:

1. [pic 35]
2. [pic 36]

despejando t de la primera ecuación:

[pic 37]

y sustituyendo en la segunda:

[pic 38]

ordenando:

[pic 39]

simplificando:

[pic 40]

Esta ecuación permite calcular la distancia x, que el móvil alcanzará a la velocidad V. Como puede observarse en esta expresión no interviene el tiempo.

Despejando la velocidad:

[pic 41]

que suele expresarse como:

[pic 42]

Que determina la velocidad del móvil en función de la aceleración y del espacio recorrido. Esta ecuación permite determinar la velocidad para una determinada distancia recorrida.

Como se dijo, se asume para las ecuaciones anteriores que el móvil parte del reposo y del origen de coordenadas (V0 = 0 y x0 = 0).

Dado que en esas expresiones no interviene el tiempo, ellas se suelen denominar ecuaciones no horarias.

Ecuación no horaria completa [editar]

Para obtener esta procederemos de la misma forma, considerando la posición, la velocidad y la aceleración como escalares pero sin suponer que las condiciones iniciales (x0, v0, a0) son igual a zero para, de este modo, conseguir la ecuación completa.

Consideramos el sistema formado por las ecuaciones de la posición y la velocidad, ambas en función del tiempo:

[pic 43]

Despejando [pic 44]en la segunda ecuación:

[pic 45]

Sustituyendo la expresión de [pic 46]obtenida al despejar la segunda ecuación en la primera:

[pic 47]

Ordenamos las fracciones y simplificamos [pic 48]con [pic 49]:

[pic 50]

Realizamos los productos y quitamos paréntesis:

[pic 51]

Reducimos a común denominador:

[pic 52]

tendremos:

[pic 53]

que simplificando resultara:

[pic 54]

Ordenamos para conseguir la expresión general de la ecuación no horaria:

...