Nucleo e imagen de una transformacion

Núcleo e imagen de una transformación

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Ejemplos

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La matriz de una transformación lineal

Desde el punto de vista algebraico lineal, las transformaciones más importantes son las aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas son llamadas transformaciones lineales o aplicaciones lineales. Una transformación lineal es una parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases arbitrarias del dominio de V y el condominio de W. En este caso, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una transformación lineal.

Sea V y W espacios vectoriales de finita dimensión sobre F, e imagina que T: V! W es lineal. Fija una base

B = {v1, v2. . . vn}

de V y una base de

B0 = {w1, w2. . . wm}

de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como

T(v j) =

Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en forma matricial mediante

(T(v1) T(v2) • • • T(v n)) = (w1 w2 • • •wm)MBB ’(T).

Es importante tener en cuenta que si V = Fn, W = Fm y T = TA, donde A Fm×n, entonces MBB’(T) = A si B y B0 son las bases estándares. De TA (ej) es siempre la columna jth de A.

Ahora, sea V el espacio de polinomios reales de al menos tres grados, y W el espacio de polinomios reales de a lo sumo dos grados. Entonces, la diferenciación es una transformación lineal D: V → W. Ahora

D (ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c.

Sea B la base {1, x, x2, x3} de V y B0 la base {1, x, x2} de W. Ahora,

D (1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3×2.

Así

MBB’(D) =

Ahora bien, supongamos que T: V → V es una transformación lineal diagonalizable (o semi-simple). Recordemos que esto significa que existe una base B = {v1, v2. . . vn} de V tal que (vi) = vi para cada índice i entre 1 y n. Por lo tanto, B es una base propia de V para T. En este caso, MBB (T) es la matriz diagonal .

Pero, ¿Qué es la matriz de T con respecto a alguna otra base B0 de V? El primer paso para responder a esta pregunta es encontrar cómo relacionar las expansiones de un vector dado de V con respecto a dos bases distintas. Esto por sí solo constituye un concepto diferente y más amplio que necesita de un conocimiento muy superior y más profundo de las matemáticas.

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