PRUEBA DE INDEPENDENCIA

PRUEBA DE INDEPENDENCIA

ebas de bondad de ajuste.

La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un nivel de significancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos esta prueba para probar la hipótesis nula de que los números aleatorios (provenientes de un generador) se ajustan a la distribución teórica uniforme continua.

Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,......., xn Se propone la hipótesis nula H0, de que la distribución de donde proviene la muestra se comporta según un modelo teórico específico tal como la uniforme, la exponencial, la normal, etc. Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor xi mientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por el modelo teórico propuesto. A menudo ocurre que muchas de las frecuencias FEi, (y también las FOi) son muy pequeñas, entonces, como regla práctica adoptamos el criterio de agrupar los valores consecutivos de estas frecuencias esperadas hasta que su suma sea de al menos cinco. La medida estadística de prueba para la hipótesis nula es

Para n grande este estadístico de prueba tiene una distribución X2 aproximada con V grados de libertad dados por

V = (k –1) – (número de parámetros estimados)

Así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, la medida estadística tendrá (k – 3) grados de libertad.

Se puede aplicar esta prueba a variables continuas agrupando adecuadamente los valores en un número adecuado de sus intervalos o clases k. Una regla empírica para seleccionar el número de las clases es:

EJEMPLO. La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de que la variable aleatoria vida útil de las baterías sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia alpha de 5%.

8.223 0.836 2.634 4.778 0.406 0.517 2.330 2.563 0.511 6.426

2.230 3.810 1.624 1.507 2.343 1.458 0.774 0.023 0.225 3.214

2.920 0.968 0.333 4.025 0.538 0.234 3.323 3.334 2.325 7.514

0.761 4.490 1.514 1.064 5.088 1.401 0.294 3.491 2.921 0.334

1.064 0.186 2.782 3.246 5.587 0.685 1.725 1.267 1.702 1.849

SOLUCIÓN. Calculamos los valores min = 0.023 y max = 8.223. Resultando ser el rango o recorrido igual a 8.2. El valor promedio es de 2.3. A continuación ordenamos los valores de manera ascendente y construimos el histograma de frecuencias relativas con seis clases cada una de longitud 1.5. (esto es debido a que 8.2 / 6 = 1.3)

k Clase FO absoluta FO relativa

1 0.0 - 1.15 21 0.42

2 1.15 - 3.0 15 0.30

3 3.0 - 4.5 8 0.16

4 4.5 - 6.0 3 0.06

5 6.0 - 7.5 1 0.02

6 7.5 - 9.0 2 0.04

Re – agrupamos las clases de modo que la FO sea de al menos 5

k Clase FO absoluta FO relativa

1 0.0 - 1.15 21 0.42

2 1.15 - 3.0 15 0.30

3 3.0 - 4.5 8 0.16

4 4.5 - 9.0 6 0.12

Como nuestra hipótesis nula es que los datos se ajustan a la función de probabilidad exponencial negativa, emplearemos tal función para calcular mediante integración el porcentaje de probabilidad esperado para cada su intervalo. Ya vimos que el valor promedio es de 2.3, sin embargo para fines prácticos lo consideraremos como 2.0. El cálculo de la integral para la primera clase es:

k Clase FO relativa FE teórica (FO-FE)2FE

1 0.0 - 1.5 0.42 0.528 0.022

2 1.5 - 3.0 0.30 0.249 0.010

3 3.0 - 4.5 0.16 0.118 0.015

4 4.5 - 9.0 0.12 0.105 0.002

Entonces

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