Propiedades algebraicas de campo de los números reales

propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades.

Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1 Cerradura

Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)

Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)

Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva.

Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.

R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}

El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.

También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:

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