Reconocimiento General

ACTIVIDAD 6 TRABAJO COLABORATIVO 1

ALFREDO MEDINA LEÓN

CÓDIGO 79409564

VÍCTOR MANUEL VELANDIA PUENTES

CÓDIGO 79487890

JAIME RAMIREZ

CÓDIGO

Tutor

MIGUEL ANDRÉS HEREDIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PROGRAMA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

Bogotá

Octubre, 23 de 2013 

OBJETIVOS

Llevar a la práctica los conceptos y la teoría asimilada en la unidad 1.

Socializar con el pequeño grupo colaborativo las experiencias, dudas y aciertos de la primera unidad.

Realizar un verdadero trabajo en equipo donde el esfuerzo y la dedicación de cada uno de sus integrantes se vea reflejado en un excelente Trabajo Colaborativo.

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

xdy-ydx=0 Ecuación lineal de primer orden. Lineal porque la variable ”y” y sus derivadas son de primer grado y el coeficiente sólo depende de la variable x

Ecuación no lineal de tercer orden. No lineal porque la potencia de la variable y es 2 y para ser lineal su exponente debe ser 1.

Ecuación no lineal de segundo orden. No lineal debido a la presencia del factor en el primer término, es decir el coeficiente no depende solo de la variable x.

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:

La variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer

grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x.

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variables separables:

a)

〖(e〗^(x )-e^(x ))dy/dx=y^(2 )

〖1/y^(2 ) dy=〗^ 1/(e^(x )-〖e-〗^(x ) ) dx

∫▒1/(e^(x )-〖e-〗^(x ) ) ∫▒〖1/y^(e^(x ) 2 ) dy=dx〗

La integración del lado izquierdo es inmediata

∫▒〖1/y^(2 ) dy=1/y^ 〗

Para resolver la integral del lado derecho, escribimos el integrado como sigue

Y hacemos el cambio t = e^(x )

∫▒1/(e^(x )-〖e-〗^(x ) ) dx=∫▒e^(x )/(e^(2x )+1) dx

=∫▒〖dt/(t^(2 )+1)=artant〗

=artan( e^x)

Solución -(1 )/(y )=arctan⁡(e^x )+c

Solución explicita y=(-1)/(artan (e^x )+e)

b)

dy/dx=(x√(〖1-y〗^2 ))/

1/(x√(〖1-y〗^2 )) dy=x dx

∫▒〖1/(x√(〖1-y〗^2 )) dy= 〗 ∫▒〖x dx+c〗

Expresamos y = senz

y=senz

dy=cosz dz

∫▒〖1/(√(〖(1-sen〗^2 z))(cosz dz))= 〗 ∫▒〖x dx+c〗

∫▒〖dz= 〗 ∫▒〖x dx+c 〗

z=1/2 x^2+c

2z=x^2+c

2arcsen(y)=x^2+c

3. Determine si la ecuación dada es exacta, si lo es, resuélvala.

e^y dx+(xe^y+2y)dy=0

d/dy e^y= e^y= d/dx xe^x+2y

Por tanto, la ecuación dada es exacta.

Sea M = e^y, entonces

dM/dy= e^y

df/dx= e^y y df/dy=xe^y+2y

f(x,y)=xe^y+g(y)

df/dy=xe^y+ g^' (y)

Al igualar (1) y (2) se obtiene:

xe^y+2y= xe^y+ g^' (y)

g^' (y)=2y

g(y)= y^2+C

De esta manera, la ecuación solución sería

xe^y+ y^2=C

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante:

...