Reducción al absurdo

Reducción al Absurdo

Este método de demostración se basa en encontrar cualquier contradicción o incoherencia matemática o lógica en la suposición de lo contrario a lo que se desea demostrar.

Hablando en términos de proposiciones, se debe demostrar una condicional P ⇒ Q (Si p entonces q), y una forma de hacer esto es suponiendo ~P Q y deducir a partir de ello que las condicionales ´ ~PQ ⇒ X ’ y ‘ ~PQ ⇒ ~X ‘ son verdaderas, es decir ‘ ~PQ ⇒ X~X ‘ es verdadera. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

¿Con qué fin?, resulta ser que una implicación de la forma ‘ ~PQ ⇒ X~X ‘ es verdadera si y sólo si la hipótesis es falsa, por lo que si p es verdadera, q es verdadera (P ⇒ Q).[pic 6][pic 7]

Ejemplo 1

Probar que si >0, entonces [pic 8][pic 9]

Solución:

Supongamos que y que .[pic 10][pic 11]

Multiplicando ambos lados de la desigualdad “”   por “a”, obtenemos:[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Lo cual es imposible, ya que . Por lo tanto podemos concluir que nuestra suposición       “” es falsa, lo correcto sería:[pic 15][pic 16]

Si  entonces [pic 17][pic 18]

Ejemplo 2

Teniendo en cuenta que es equivalente a [pic 19][pic 20]

Probar que  no es un número racional.[pic 21]

Solución:

Supongamos que es un número racional, entonces:[pic 22]

      p,q Z     q[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Teniendo en cuenta que p y q están reducidos a su mínima expresión, o sea p y q no tienen factores en común, entonces:

[pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30]

Elevando al cuadrado la igualdad tenemos:

[pic 31]

Lo cual indica que es par, por lo tanto, p es par y debe tener la forma:[pic 32]

 [pic 33]

Sustituyendo este valor en la segunda igualdad, tenemos:

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[pic 36]

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En esta última expresión tenemos que “q” y “p” son pares, por lo tanto tienen al número 2 como factor común. Sin embargo al principio del ejercicio definimos que “q” y “p” estaban en su mínima expresión y por lo tanto no tenían términos en común. Con esto logramos definir una proposición y su negación, lo que quiere decir que nuestra hipótesis es falsa. Nuestra hipótesis fue que  es un número racional, podemos concluir que:[pic 38]

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