Reglas aditivas

Reglas aditivas

Si A y B son dos eventos, entonces

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Ejemplo: Al final del semestre, Juan se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial en una universidad. Después de tener entrevistas en dos compañías donde quiere trabajar, él evalúa la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compañía A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañías es 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que obtendrá al menos una oferta de esas dos compañías?

Con la regla aditiva tenemos: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)=

0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9.

Reglas multiplicativas

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), dado que P(A)>0.

Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B, dado que ocurre A.

Como los eventos A ∩ B y B ∩ a son equivalentes, del teorema anterior se sigue que también podemos escribir

P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B)P(A|B).

En otras palabras, no importa qué evento se considere como A y cuál como B.

Ejemplo: Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

Sean A el evento de que el primer fusible esté defectuoso y B ele vento de que el segundo esté defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto,

P(A ∩ B) = (1/4)(4/19) = 1/19.

Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes si y sólo si

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Por lo tanto, para obtener la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes, simplemente calculamos el producto de sus probabilidades individuales.

Probabilidad condicional

Llamamos probabilidad condicionada del suceso respecto del suceso , y lo denotamos por al cociente

Ejemplo

Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

= "la suma de los puntos es siete" y

= "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas y . Por tanto,

Teorema de bayes

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde:

 P(Ai) son las probabilidades a priori.

 P(B | Ai) es la probabilidad de

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