Se define como operación binaria a la existencia de una regla o criterio, que asigna a cada par de elementos de un conjunto dado un único elemento llamado resultado

Operación binaria:

 Se define como operación binaria a la existencia de una regla o criterio, que asigna a cada par de elementos de un conjunto dado un único elemento llamado resultado

Estructura de grupo

Es una estructura algebraica formada por un conjunto y una operación binar5ia definida con él, que satisface las siguientes propiedades:

-Sea A un conjunto no vacío, y  y sea  * una operación binaria definida en A. El sistema algebraico (A, *) tiene estructura de grupo si :

1.-  Cerradura

∀ a,b ∈ A, (a*b) [pic 1] A

2.- Asociatividad

∀ a,b ∈ A, (a*b) *c = a*(b*c)

3.- Elemento identico

∀ a,b ∈ A, ∃  e ∈ A| a*e= e*a=a

4.- Inversos

∀ a,b ∈ A, ∃  i e A| a*i = i*a=e

Anillos

Se llama grupo a una estructura (G, ⊗) que verifica las propiedades:

1. (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z), ∀ x, y, z ∈ G (Propiedad Asociativa)

1. ∃e ∈ G ± x⊗e = e⊗x = x, ∀ x ∈ G (Existencia de Elemento Neutro)

3. ∀x ∈ G ∃ y ∈ G ± y ⊗ x = x ⊗ y = e (Existencia de Elemento Simétrico)

Definición 35. Se llama grupo conmutativo ´o Abeliano a un grupo (G, ⊗) que verifica:

 4. x ⊗ y = y ⊗ x, ∀ x, y ∈ G (Propiedad conmutativa)

Ejemplo 1. En el grupo (R, +) el elemento neutro es el “ 0” y el elemento simétrico es el elemento opuesto (−x). De la misma forma, en el grupo (R0 = R − {0}, ·) el elemento neutro es el “ 1” y el elemento simétrico es el inverso6 (1/x). Ambos son grupos conmutativos.

Anillos Se analizarán a continuación los anillos, un tipo de estructuras con dos operaciones relacionadas entre sí. Estructuras algebraicas de este tipo son los conjuntos numéricos Z, Q y R, de forma que estas estructuras resultan relativamente familiares; esto, no obstante, puede resultar un inconveniente porque anima a generalizar las propiedades a las que se está acostumbrado al manejar números. Esto, como se verá, no es siempre acertado.

. Se llama anillo, y se denota por (A, ⊕, ¯), a un conjunto A dotado de dos operaciones “ ⊕” y “ ¯” que verifica las propiedades siguientes:

1. (A, ⊕) es un grupo abeliano. Su elemento neutro lo denotaremos como 0.

2. (x ¯ y) ¯ z = x ¯ (y ¯ z), ∀ x, y, z ∈ A (propiedad asociativa)

 3. x ¯ (y ⊕ z) = (x ¯ y) ⊕ (x ¯ z) (x ⊕ y) ¯ z = (x ¯ z) ⊕ (y ¯ z) ¾ ∀x, y, z ∈ A (prop. distributiva)

 (A, ⊕, ¯) se llamará anillo unitario si verifica: 4. ∃ • e¯ ∈ A ± x ¯ e¯ = ¯e ¯ x = x, ∀ x ∈ A

 (A, ⊕, ¯) se llamará anillo conmutativo si verifica: 5. x ¯ y = y ¯ x, ∀ x, y ∈ A (propiedad conmutativa)

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