Sistema Numerico

Sistemas Numéricos

Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, romano, etc. Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente) mientras que el sistema romano no posee base y resulta más complicado su manejo tanto con números, así como en las operaciones básicas.

Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn) * A

Dónde:

b = valor de la base del sistema

n = número del dígito o posición del mismo

A = dígito.

Historia

Desde el principio de los tiempos ha existido la necesidad de contar, cuando los hombres sentían esa necesidad recurrían inevitablemente a los dedos o a pequeños guijarros, pero esto no abarcaba un gran número por lo que cuando se llegaban a cifras altas normalmente se hacía una marca específica y se seguían contando unidades a partir de ahí. Esta marca o número es la base. Así es como surge el concepto de base.

El concepto de base.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.

Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Utilidad

TIPOS DE SISTEMAS NUMERICOS

Para saber qué sistema se utiliza; se coloca un subíndice al número indicando la base y por tanto el sistema del mismo. Evidentemente el único sistema en el que no se utiliza subíndice es el decimal.

El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras cero y uno, esto es infomática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de voltaje lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado.

Todas aquellas personas que se dedican a la informática es fundamental tener habilidad con este tipo de numeración. En este artículo voy a explicar un poco cómo se utiliza y en que consiste el sistema binario.

En binario, tan sólo existen dos dígitos, el cero y el uno. Hablando, por tanto, de un sistema en base dos, en el que 2 es el peso relativo de cada cifra respecto de la que se encuentra a la derecha.

An, An-1, ….., A5, A4, A3, A2, A1, A0

El subíndice n indica el peso relativo (2n) La forma de contar es análoga a todos los sistemas de numeración, incluido el nuestro, se van generando números con la combinación progresiva de todos los dígitos. En base 10 (sistema decimal), cuando llegamos al 9, seguimos con una cifra más, pero comenzando desde el principio: 9,10,11… en binario sería:

0, 1 (cero y uno)

10, 11 (dos y tres)

100, 101, 110, 111 (cuatro, cinco, seis y siete)

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (del ocho al quince)

10000, 10001, 10010, 10011, 10100….=

1024 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 4 + 1 = 1957

Como podemos ver todo se basa en potencias de dos. Para mayor soltura, tendremos que aprendernos de memoria las potencias de 2, al menos hasta 210 = 1024. Además, cuando ya estemos familiarizados, podremos realizar el paso anterior de memoria, sin desglosar todas las multiplicaciones y sumas, simplemente con un cálculo de cabeza.

Ya sabemos contar… pero si nos dan un número muy grande en binario… ¿cómo sabríamos qué número es contar hasta que lleguemos a ese número? Bien, para eso utilizaremos el siguiente método: multiplicaremos cada dígito por su peso y sumaremos todos los valores. Por ejemplo, dado el número en binario 11110100101:

1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 — Número binario

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