Suma y multiplicación de matrices.

Tema Matrices: Suma y multiplicación de matrices. Inversa de una matriz.

Actividades de aprendizaje

Identifica, caracteriza y representa diferentes tipos de matrices.

Aplica las técnicas y procedimientos establecidos en la realización de operaciones básicas de matrices.

¿Qué son las matrices?

Las matrices son arreglos o disposiciones de elementos en filas y columnas. Generalmente estos elementos son numéricos. Los siguientes son ejemplos de matrices

(■(1&-1&3@3&0.5&0@-5&2&1)) (■(5&1@2&-4@1/2&0)) (■(2&-2&1@3&1&8))

Orden 3x3 Orden 3x2 Orden 2x3

Si m es el número de filas y n el número de columnas, decimos en general, que una matriz tiene orden o dimensión mxn

Tipos de matrices

Se dice que una matriz de orden mxn es cuadrada cuando m=n, es decir, si tiene el mismo número de filas y columnas. Si la matriz no es cuadrada se dice que es rectangular, es decir, cuando el número de filas y columnas no es el mismo.

Existen matrices que constan de solamente una fila, en este caso se les llama matriz fila. Tiene el orden 1xn. Las matrices columnas tienen orden mx1, es decir tienen solamente una columna.

La matriz nula es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero.

Si la matriz es cuadrada, a los elementos de la matriz a11, a22, a33, …, amm se les llama diagonal principal de la matriz. Por ejemplo, en la matriz cuadrada (■(1&-1&3@3&0.5&0@-5&2&1))los elementos de la diagonal principal son 1, 0.5 y 1.

La matriz identidad es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y el resto de elementos es 0. Un ejemplo de matriz identidad es

I_2x2=(■(1&0@0&1))

Operaciones con matrices

Las principales operaciones que se pueden realizar con matrices son adición, sustracción, multiplicación o división por un número, transponer la matriz, multiplicar matrices y obtener su inversa.

Adición de matrices:

Podemos sumar matrices si tienen el mismo orden. La suma es una matriz del mismo orden de las matrices sumandos. La operación de suma consiste en sumar los dos miembros de cada matriz que ocupan la misma posición. El resultado es otra matriz.

(█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 〖 a〗_m2 ⋯a_mn ))+(█(■(b_11&b_12&⋯b_1n@b_21&b_22&⋯b_2n@⋮&⋮&⋮)@b_m1 〖 b〗_m2 ⋯b_mn ))=(█(■(a_11+b_11&a_12+b_12&⋯a_1n+b_1n@a_21+b_22&a_22+b_22&⋯a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1+b_m1 〖 a〗_m2+b_m2 ⋯a_mn+b_mn ))

La sustracción de matrices es similar.

Ejemplo 1

Calcular la suma de las matrices A=(■(2&-1&4@0&3&2)) y B=(■(-3&5&0@2&1&6)).

Solución

A+B=(■(2&-1&4@0&3&2))+(■(-3&5&0@2&1&6))=(■(2+(-3)&-1+5&4+0@0+2&3+1&2+6))

Respuesta A+B=(■(-1&4&4@2&4&8))

Ejemplo 2

Hallar A – B si A = (■(-2&6@1/2&-1/2)) y B = (■(2&4@3/2&-1/2))

Solución

A – B = (■(-2&6@1/2&-1/2)) - (■(2&4@3/2&-1/2)) = (■(-2-2&6-4@1/2-3/2&-1/2-(-1/2)))=(■(-4&2@-1&0))

Respuesta A – B = (■(-4&2@-1&0))

Multiplicación por un escalar.

Si A es una matriz y k es un escalar (un número), entonces si A = (█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 〖 a〗_m2 ⋯a_mn )),

kA = k(█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 a_m2 ⋯a_mn ))= (█(■(〖ka〗_11&ka_12&⋯〖ka〗_1n@〖ka〗_21&ka_22&⋯〖ka〗_2n@⋮&⋮&⋮)@〖ka〗_m1 〖ka〗_m2 ⋯〖ka〗_mn ))

Ejemplo 3

Multiplicar la matriz A = (■(-1&2@2&0@4&3)) por -3.

Solución

-3(A) = -3A= -3x(■(-1&2@2&0@4&3))= (■(3&-6@-6&0@-12&-9))

Trasponer una matriz

La trasposición de una matriz Amxn significa obtener una nueva matriz Anxm en la cual se intercambia ordenadamente la posición de las filas y la columna. La primera fila de A pasa a ser la primera columna de su transpuesta. La última columna de la traspuesta es la última columna de la traspuesta.

Ejemplo 4

Hallar la traspuesta de la matriz (■(1&2&3@7&8&9)).

Solución

La matriz dada tiene dimensión 2x3. La traspuesta tendrá dimensión 3x2. La primera fila de elementos 1 2 3 pasa a ser la primera columna de la traspuesta. La segunda fila 7 8 9 pasa a ser la segunda columna de la traspuesta.

Respuesta: La traspuesta de la matriz dada es (■(1&7@2&8@3&9)).

Multiplicación de matrices

La operación de matrices no es una operación conmutativa como en el caso de la multiplicación entre números. El producto de las matrices A y B no es el mismo que el producto de B y A.

Para que dos matrices A y B se puedan multiplicar el número de columnas de A debe ser igual que el número de filas de B. Por ejemplo una matriz A de orden mxn se puede multiplicar por otra matriz B de orden nxs. En estas matrices el número de columnas de A es n y el número de filas de B es n. La matriz producto AB tendrá orden mxs. Es decir, la matriz resultante tiene m filas (el número de filas de A) y s columnas (el número de columnas de B).

El algoritmo para multiplicar dos matrices Amxn y Bnxs es el siguiente:

AB = (█(■(a_11&a_12&⋯a_1n@a_21&a_22&⋯a_2n@⋮&⋮&⋮)@a_m1 〖 a〗_m2 ⋯a_mn )).(█(■(b_11&b_12&⋯b_1s@b_21&b_22&⋯b_2s@⋮&⋮&⋮)@b_n1 〖 b〗_n2 ⋯b_ns ))=

= (█(■(a_11 b_11+a_12 b_21+⋯a_1n b_n1&〖 a〗_11 b_12+a_12 b_22+⋯a_1n b_n2&⋯〖 a〗_11 b_1s+a_12 b_2s+⋯a_1n b_ns@a_21 b_11+a_22 b_21+⋯a_2n b_n1&〖 a〗_21 b_12+a_22 b_22+⋯a_2n b_n2&⋯〖 a〗_21 b_1s+a_22 b_2s+⋯a_2n b_ns@⋮&⋮&⋮)@a_m1 b_11+a_m2 b_21+⋯a_mn b_n1 〖 a〗_m1 b_12+a_m2 b_22+⋯a_mn b_n2 ⋯〖 a〗_m1 b_1s+a_m2 b_2s+⋯a_mn b_ns ))

Se multiplican miembro a miembro los elementos de la primera fila y la primera columna y se suman los productos. El resultado es el primer elemento de la primera fila de la matriz producto.

Veamos un sencillo ejemplo para una matriz A2x2 y B2x3

Ejemplo 5

Multiplicar A =(■(2&-1@3&1/2)) por B = (■(1&2&1@0&-1&-2))

Solución

AB = (■(2&-1@3&1/2))(■(1&2&1@0&-1&-2))=(■(2(1)+(-1)(0)&&@&&)) = (■(2&&@&&))

Observe que el primer elemento 2 del producto se obtiene de multiplicar miembro a miembro la fila y columna señaladas en rojo. A continuación en color azul se señalan la fila y columnas para calcular el elemento 11/2 del producto.

AB = (■(2&-1@3&1/2))(■(1&2&1@0&-1&-2))=(■(2(1)+(-1)(0)&&@&3(2)+1/2(-1)&)) = (■(2&&@&11/2&))

Completamos las operaciones

AB = (■(2&-1@3&1/2))(■(1&2&1@0&-1&-2))=(■(2(1)+(-1)(0)&2(2)+(-1)(-1)&2(1)+(-1)(-2)@3(1)+1/2(0)&3(2)+1/2(-1)&3(1)+1/2(-2)))

Solución AB = (■(2&5&4@3&11/2&2))

Observe que de una matriz 2x2 y 2x3 resulta la matriz 2x3.

Ejemplo 6

Multiplicar (■(1&2&3)) y (■(-1&2@1&1@0&-3))

Solución

Las matrices son 1x3 y 3x2 el producto resultará 1x2,

(■(1&2&3))(■(-1&2@1&1@0&-3))=(■(1(-1)+2(1)+3(0)&1(2)+2(1)+3(-3)))=(■(1&-5))

Respuesta: El producto de las dos matrices es la matriz (■(1&-5)).

Ejercicios propuestos:

I Para las siguientes matrices

A = (■(1@2@3)) B = (■(-1&2&0)) C = (■(1@-1)) D= (■(0&0)) E = (■(-1&2@3&5))

F = (■(1&0@0&1)) G = (■(1&-1&0@2&1&-1)) H = (■(1&1@0&0@2&2)) I = (■(2&0&0@0&2&0@0&0&2))

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