PRÁCTICA 2: Multiplicación de matrices en FORTRAN

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PRÁCTICA 2: Multiplicación de matrices en FORTRAN

Resumen— En el siguiente documento se presentan los pasos a seguir para la elaboración de una multiplicación de matrices, esto contenido en la introducción del documento, se explicará paso a paso para que se comprenda los pasos que se tienen que seguir para realizar dicha operación algebraica con matrices, de igual manera se incluye un código compilado en el programa FORTRAN, el cual tiene la función de leer matrices de dos documentos y multiplicarlas. Sin duda alguna el documento será de gran ayuda para poder aprender a multiplicar matrices y también para tener un programa que nos pueda ayudar a facilitar dicha tarea, dicho programa puede ser modificado, con eso se quiere decir que los rangos de las matrices a multiplicar pueden cambiar dependiendo de la necesidad que tenga el usuario.

Índice de Términos— Matrices, Multiplicación, Rango, Diagrama de flujo, Código.

Objetivos:

1. El alumno desarrollará un programa en FORTRAN capaz de leer dos matrices de dos documentos y multiplicarlas, imprimiendo en pantalla el resultado.

1. INTRODUCCIÓN

Matrices

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (aij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y el segundo  j  la columna.

[pic 1]

Figura 1: Ejemplo de matriz

Esta es una matriz de  m  filas  y  n  columnas, es decir, de dimensión  m x n.  Esta  matriz también se puede representar de la forma siguiente:  A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual  ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden  n.

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos sus coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

[pic 2]

• F3 = 2F1
• F4 es nula
• F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

[pic 3]

• F2 = F2 - 3F1
• F3 = F3 - 2F1

[pic 4]

Por tanto r(A) = 3.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

[pic 5]

Podemos descartar una línea si:.

• Todos sus coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

[pic 6]

Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

[pic 7][pic 8]

Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.[pic 9]

r(B) = 2.

Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4..

Dimensión de una matriz

Las dimensiones de una matriz son el número de renglones por el número de columnas. Si una matriz tiene a renglones y b columnas, es una matriz a × b. Por ejemplo, la primer matriz mostrada a continuación es una matriz 2 × 2; la segunda es una matriz 1 × 4; y la tercera es una matriz 3 × 3.

[pic 10]

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