Teorema De Rolle
Enviado por Rossmailing1 • 6 de Noviembre de 2014 • 916 Palabras (4 Páginas) • 719 Visitas
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
• Teorema de Rolle
• Teorema de Gauchy
• Teorema del Valor Medio
• Lagrange (sólo cuando G(X) = X
• Funciones Crecientes y Decrecientes
• Concavidad y Punto de Inflexión
• Máximos y Mínimos del Punto de Inflexión
• Criterio de Primera y Segunda Derivada
CONCLUSIÓN
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
TEOREMA DE ROLLE
Si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula.
Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
• Es continua en el intervalo cerrado [a, b]
• Es derivable en el intervalo abierto (a, b)
• Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)
Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.
Ejercicios nº1: Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]
• Es continua en [1, 3] por ser polinómica.
• Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.
• f(1) = 8; f(3) = 8
Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.
Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2
El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3]
TEOREMA DE GAUCHY
La hipótesis de este teorema es que contamos con dos funciones F y G que son continuas en un intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b).
La tesis del teorema es que, en tal caso, existe algún valor x en (a,b) para el cual mF G'(x) = mG F'(x).
Las constantes mF y mG son las pendientes medias (tasas de variación media) de F y G en [a,b].
Interpretación geométrica
Considere la representación gráfica de una curva , que tiene ecuaciones paramétricas donde .
Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor está dada por
Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos está dada por:
Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor en tal que:
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