Trabajo de Investigación Serie de Potencias

Trabajo de Investigación

Serie de Potencias

-Definición.

Una serie de potencia generalmente tiene la siguiente forma:

[pic 1]

Aun también se la puede encontrar de esta forma

[pic 2]

A esta forma se la conoce serie de potencia en (x-a), o serie de potencia centrada en a.

También existen casos particulares de series de potencias conocidas como

Series de Taylor y Series de Maclaurin que la veremos más adelante con nuestros compañeros del otro grupo  

-Aspectos generales: representación de funciones como serie de potencias manipulando serie geométrica, por derivación o integración.

Aquí pongan el método que van a aplicar y un ejercicio

-Definición de convergencia y divergencia de una serie de potencia.

Las series de potencias son algo especiales porque al ser una serie con variable puede ser convergente con ciertos valores y divergente con otros, lo aclararemos con el siguiente ejemplo

[pic 3]

Si a esta serie le sustituimos cn=(1) para toda n la serie quedaría así:

[pic 4] 

Que sería convergente cuando -1=1

-Ejemplos de convergencia y divergencia de series de potencia.

Aquí van los ejercicios que el compañero elija

• Ejercicio A

[pic 5]

Solución:

Debido a que la serie  puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada dependiendo del valor de x, usa una prueba de serie de términos positivos y negativos para determinar la convergencia. [pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

• Ejemplo B

[pic 9]

Solución:

Debido a que la serie  puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada dependiendo del valor de x, usa una prueba de serie de términos positivos y negativos para determinar su convergencia. [pic 10]

Establezcamos. [pic 11]

Entonces

[pic 12]

Según la Prueba de Razón, la serie es:

• convergente absoluta para |x|<1<1" /><1" /> , es decir, en el intervalo abierto −1< x < 1" /> ; y
• divergente para |x|>11" />1" /> .

Pero, ¿qué sucede en los extremos?

[pic 13]

Ejemplo C

Encuentra la función representada por las siguientes series infinitas y establece el dominio:

[pic 14]

-Radio, Intervalo y Dominio de convergencia de una serie de potencias

-Dominio Para las series de potencias es fácil hallar el dominio ya que este dominio se encuentra en los valores que hacen converger a la serie tomando como ejemplo el ejemplo anterior tendríamos que el dominio iría desde -1

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