Transferencia De Calor

Conducción en estado estable bidimensional sin generación

David Fuentes Díaz

Escuela de Ingeniería Mecánica

Universidad Industrial de Santander

Conducción bidimensional

Contenido

• Introducción

• Solución analítica

• Solución gráfica

• Solución numéric

• Trabajo

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Conducción bidimensional

Introducción

• Considerar un sólido prismático largo en los que los efectos de conducción

en dos dimensiones son importantes. Con dos superficies aisladas y las otras a diferentes temperaturas, T1>T2.

• Las direcciones del vector flujo de calor se representan me diante líneas de flujo de calor, y el vector mismo resulta de los componentes del flujo de calor en las direcciones x y y. Estos componentes están determinados por la ecuación :

∂2 T + ∂2 T = (1)

0

2 2

∂x ∂y

• Si la ecuación se resuelve para T(x,y), es entonces sencillo satisfacer el objetivo principal, que es determinar las componentes del flujo de calor q” x y q” y con la aplicación de las siguientes ecuaciones:

q "x = -k ∂T q "y = -k ∂T

∂x ∂y

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Conducción bidimensional

Introducción

• Métodos para la resolución de la ecuación general de T.C por conducción

ANALÍTICO. Implica obtener una solución exacta de la ecuaci ón (1).

GRÁFICO . Proporciona solo resultados aproximados en puntos discretos.

NUMÉRICO (DE DIFERENCIAS FINITAS, DE ELEMENTO FINITO O DE ELEMENTO DE FRONTERA). Se utiliza para obtener resultados extremadamente precisos en cuanto a geometrías complejas.

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Conducción bidimensional

Solución analítica

Este método permitirá encontrar la distribución de temperatura resolviendo la ecuación de conducción de calor en los dos ejes coordenados.

Esta es una ecuación diferencial de tipo lineal homogénea

parcial.

Si la ecuación es valida para T, también lo es para unaC•T

Aplicación:

Donde a , b , c , d son condiciones de frontera.

Al solucionar esta ecuación se encuentran

cuatro constantes de integración y se necesitan

4 condiciones de frontera, las cuales se

pueden clasificar en homogéneas y no

homogéneas.

El método analítico que se aplica a la solución

se llama SEPARACIÓN DE VARIABLES.

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Conducción bidimensional

Solución analítica

El método analítico que se aplica a la solución se llama SEPARACIÓN DE VARIABLES.

Solución queda acotada entre cero (0) y uno (1)-

EJEMPLO:

Se tiene un sólido con las siguientes condiciones d e frontera:

1. (a) T(0,y) = T1

2. (c) T( w,y) = T1

3. (d) T(x,0) = T1

4. (b) T(x,h) = T2

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Conducción bidimensional

Solución analítica

La Solución es de la forma :

θ(x, y)  X(x) • Y(y)

Condiciones de frontera:

θ(o,y)=0 θ(x,0)=0 θ(1,y)=0 θ(x,1)=1

Para la ecuación:

Derivando con respecto de x:

Reemplazado:

d θ

dx d θ

dy

y

W

T1, 

 dX(x) Y(y)

dx

 X(x) dY(y)

dy

T2, 

T(x,y) T1, 

T1,  L x

d 2 X Y(y)  d 2 Y X(x)  0

dx 2 dy 2

-  1 d 2 X = 1 d 2Y

X(x) dx 2 Y(y) dy 2

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Conducción bidimensional

Solución analítica

 -  1 d 2 X = 2  1 d 2Y

X(x) dx 2 Y(y) dy 2

d 2 X + λ2 X = 0 d 2Y - λ2Y = 0

dx 2 dy 2

SOLUCIÓN GENERAL:

X  ACos λx  BSen λx

Y = Ce λy + De - λy

θ  X(x)Y(y)   ACos λx  BSen λx Ce λy  De - λy 

Aplicando las condiciones de frontera y despejando:

θ x, y   ∞ nπx nπy

∑C n Sen Senh

L

n 1 L

donde 2 - 1n  1  1

C n 

nπ

nπS enh W

L

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Conducción bidimensional

Solución analítica

y T2, 

W



T1,   T1, 





T1,  L x

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Conducción bidimensional

Solución gráfica

El principio básico de la solución por este método es que las íneasl isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor en un punto específico. De esta manera, se toma el elemento de análisis y se trata de dibujar sobre él un sistema de cuadrados curvilíneos compuesta por líneas de flujo de calor y líneas isotermas.

• Ventajas del método

Conveniente para problemas que tienen fronteras isotérmicas o adiabáticas.

Facilidad de implementación.

Permite tener una buena estimación del campo de temperatura y de la distribución del flujo de calor.

Se ha estado reemplazando por los métodos numéricos.

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Conducción bidimensional

Solución gráfica

Metodología

1. Identificar líneas de simetría en la T.C.

2. Las líneas de simetría se comportan como superficies adiabáticas (líneas q=0). Las líneas isotérmicas son perpendiculares a las líneas de simetría.

3. Intentar dibujar las líneas de temperatura constante dentro del sistema, buscando que sean perpendiculares a las líneas abiabáticas. El objetivo es crear una red de cuadrados curvilíneos.

X =

ab + cd

Y =

2 ac + bd

2

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