Transitividad Matematica

TRANSITIVIDAD MATEMATICA

En matemáticas se dice que una relación binaria R sobre un conjunto X es transitiva si establece que para todo a, b, y c en X, tal que a está relacionada con b, y b está relacionada con c, entonces a está relacionada con c.

En notación matemática, esto es:

Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple y pero no se cumple puesto que es subconjunto de .

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

La ley de transitividad dice que:

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es: Una relación R es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c. (Esto se lee, si a está relacionada con b y b está relacionada con c se cumple a está relacionada con c)

Un ejemplo de aplicación de la ley transitiva en la vida diaria es el siguiente:

Si tu eres más alto que yo, y tu hermano es más alto que tú, puedo decir que tu hermano es más alto que yo.

Otro ejemplo:

Si 10 euros son más dinero que 5 euros, y 5 euros son más dinero que 1 euro, entonces 10 euros seguro que son más dinero que 1 euro.

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DESIGUALDADES MATEMÁTICAS

En matemáticas existen dos tipos de desigualdades:

1.- La desigualdad condicional o inecuación

2.- La desigualdad absoluta.

Conceptos:

En una desigualdad es una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones

Definición: Una desigualdad se llama desigualdad condicional o inecuación si no es

verdadera para todos los valores permisibles de las variables que en ella aparece.

Definición: Una desigualdad se llama desigualdad absoluta si es verdadera (satisface)

para todos los valores permisibles de las variables que en ella aparecen.

Estas son las desigualdades que se usan en matemática...

< menor que

> mayor que

≤ menor igual que

≥ mayor igual que

≠ diferente a

Ejemplos: Desigualdades Condicionales o

Inecuaciones

2X – 6 > 0

Desigualdades Absolutas

a2 + b2 + 1 > 0

-4 < 3

...