Traslado de frecuencia

Aplicando la expresión de la transformada de Fourier:

[ ] ∫ ∫∞

−∞

∞ − −

−∞

( ) = ( ) = ( ) − = ( ) ( ) = ( − )

o

F w F f t eiwot f t e iwteiwotdt f t e i w wo tdt F w w

Ecuación 9: Traslado de frecuencia

Teorema de modulación

Dado que se puede expresar una señal sinuidal como suma de exponenciales, al

multiplicación de la señal portadora p(t) por una señal sinuidal(Moduladora) a (t),

trasladará todo el espectro de frecuencia:

Siendo al señal moduladora, para A=1.

2

( )

iw t iw t

a

e a e a a t senw t

− −

= =

Ecuación 10: Expresión señal moduladora

El producto de la señal portadora por la señal moduladora, resultará:

[ iw t iw t ]

a

p t senw t = p(t)e a − p(t)e− a

2

( ) 1

Ecuación 11: producto señal moduladora y señal portadora

Por teorema de traslación de frecuencia se deduce que:

[ ( ) ( )]

2

( ) 1 a p a p a p t senw t = F w − w − F w + w

Ecuación 12. Teorema de modulación

Es así como el proceso de modulación traslada el espectro de frecuencia en wa.

En consecuencia, la modulación de amplitud puede ser considerada, como el proceso de

trasladar la gama de frecuencia de la señal moduladora, a una zona de frecuencias más

altas, que están determinadas por la frecuencia de la señal de la portadora.

Ecuación 13. Espectro de frecuencia ASK

8

Ancho de banda de ASK

Aunque hay una única frecuencia portadora, el proceso de modulación produce una señal

compleja que es una combinación de muchas señales sencillas, cada una de las cuales

tiene una frecuencia distinta.

Cuando se descompone una señal modulada con ASK se obtiene un espectro de muchas

frecuencias simples. Siendo fc la frecuencia de la portadora, las más significativas serán

y baudios

Figura No 7: Representación del ancho de banda en ASK

Por otro lado los requisitos de ancho de banda para ASK se calculan usando la fórmula

Ecuación 14: Formula para calcular ancho de banda en ASK

d es un factor relacionado con la línea con un valor mínimo de 0. Por tanto el ancho de

banda mínimo necesario es igual a la tasa de baudios.

2.3. Modulación de frecuencia

2.3.1. Definición

Se denomina modulación (Desplazamiento por frecuencia), a aquella en que el parámetro

de la señal senoidal de la portadora que se hace variar, es la frecuencia.

Cuando la señal moduladora es de origen digital, la señal modulada tomará un número

discreto de valores de la frecuencia, iguales al número de valores que correspondan a la

señal moduladora.

La figura No 8 en a y b muestra este proceso. Esta es la primera técnica que se

implemento en términos prácticos, para modular señales digitales de datos (mediante

normas internacionales). En la actualidad si bien no es usada con exclusividad en los

sistemas de transmisión de datos, se continua empleando en radiocomunicaciones (en

estaciones de radiodifusión pública).

Existen dos tipos de modulación por desplazamiento de frecuencia:

• Modulación de frecuencia en banda angosta

• Modulación de frecuencia en banda ancha

9

Figura No 8: a) Señal digital cuadrada de + 1, - 1 V de amplitud de período T. b) Señal modulada FSK

espectro del tiempo, c) Espectro de frecuencia de la señal FSK

2.3.2. Fundamentos teóricos del proceso de modulación en FSK

La frecuencia f y la pulsación w, difieren a menos de una constante (2π), por lo que hablar

de una u otra es equivalente. Por tanto se puede expresar que la frecuencia w, es una señal

modulada en frecuencia, resulta diferente a cada instante por lo cual, la señal modulada

m(t), no puede representarse mediante una expresión sinusoidal ordinaria de tipo

conocido: f (t) = Asenwt .

Por lo tanto se definirá una función general sinusoidal, como:

f (t) = Asenθ (t)

Ecuación 15: Función sinusoidal general para FSK

Donde la fase θ, varía en función del tiempo.

Además se definirá como frecuencia instantánea wi a la expresión siguiente:

dt

w d i

θ

=

Ecuación 16: Frecuencia instantánea

De esta forma se podrá establecer una relación entre la frecuencia instantánea y la fase

θ(t).

Despejando θ(t) se tendrá:

10

t = ∫w dt i θ ( )

Ecuación 17: Relación entre la fase y la frecuencia instantánea

Se observa que se puede modular una señal armónica, mediante una portadora que

contenga información, haciendo variar el ángulo θ(t).

Precisamente, se denomina modulación angular, a la técnica que permite hacer variar el

ángulo de la portadora, con una señal moduladora.

Tal modulación tiene dos formas fundamentales: la modulación de frecuencia y la

modulación de fase.

Si el ángulo θ(t), varía linealmente con una señal modulante a(t), resulta:

( ) ( ) 0 θ t =θ + ka t

Ecuación 18: ángulo θ(t) variando linealmente con una señal modulante a(t)

Sí ahora se mezcla la señal portadora, wpt con la modulante de la expresión 18 se tendrá:

( ) ( ) 0 t w t ka t p θ = +θ +

Ecuación 19: mezcla la señal portadora wpt con la modulante

Calculando la frecuencia instantánea se tiene:

dt

d w t ka t

dt

w d t p

i

( ) ( 0 ( )) + +

= =

θ θ

Ecuación 20: Calculando la frecuencia instantánea

Operando

dt

w w k da t i p

= + ( )

Ecuación 21: Frecuencia instantánea calculada

De esta expresión se puede observar que la frecuencia instantánea, varía linealmente con

la derivada de la señal modulante.

La señal modulante es un flujo de pulsos binarios que varían entre dos niveles de voltaje

discretos llamada d(t), como en la ecuación 2, que puede ser representada como:

v t v w t m m m ( ) = cos

Sea:

v t v w t d t wt p p 2

( ) cos( ( )

Δ

= +

Ecuación 22: Forma de onda de la señal FSK

Con:

• vc Amplitud pico de la portadora no modulada

• v(t) Forma de onda de la señal FSK

• d(t) Señal binaria moduladora

• wp Frecuencia de la portadora en radianes

• Δw Cambio de frecuencia de salida en radianes

Además:

11

El índice de modulación:

m

m

m w

β = kA = A k1

Ecuación 23: Índice de modulación

Con wm frecuencia de la señal moduladora.

La señal modulada puede ser:

m(t) A cos(w t cos(w t)) p p m = + β

Ecuación 24: Señal modulada en frecuencia genérica

La frecuencia modulada será:

[ ] 





( ) = cos ( + ∫ cos( )) = cos( + ∫ 1 cos(w t))

w

FM t A w t w t A w t A K m

m

p p m p p β

[ ] 





( ) = cos ( + ∫ cos( )) = cos( + 1 ( )

1 sen w t

w

FM t A w t v K w t A w t v K m

m

p p m m p p

Ecuación 25: Frecuencia modulada

La frecuencia en radianes de la portadora cambia desde wp - Δw/2 hasta wp + Δw/2. Este

cambio es proporcional a la amplitud y polaridad de la señal de entrada binaria. Por

ejemplo: +1 v para uno (1) y para cero (0) -1 v., así los cambios de frecuencia de la

portadora serían +Δw/2 y -Δw/2 respectivamente.

La frecuencia de la portadora de salida cambia entre wp + Δw/2 y wp -Δw/2 a una

velocidad igual a fm.

Conforme cambia la señal de entrada binaria de 0 a 1 la salida FSK se desplaza entre dos

frecuencias: Frecuencia de marca o de “1” y frecuencia de espacio o de “0”.

En FSK binario hay un cambio en la frecuencia de salida cada vez que la condición lógica

de la entrada cambia. La razón de la salida de cambio es igual a la razón de entrada de

cambio.

En modulación digital la razón de cambio a la entrada del modulador se llama razón de bit

y su unidad es el bps y la razón de cambio a la salida del modulador se conoce como

Baudio y es igual al reciproco del tiempo de un elemento de señalización de la salida.

En FSK la razón de bit y el baudio son iguales.

12

Figura No 10: Transmisor FSK

Un modulador de FSK consiste en un VCO

Figura No 11: Modulador FSK

Una condición de 1 lógico en la entrada cambia el VCO en su frecuencia de reposo a la

entrada de marca, una condición de 0 lógico a la entrada cambia el VCO en su frecuencia

de reposo a la frecuencia de marca.

A/D

T

R

A

N

S

M

I

S

O

R

Entrada

Señal

binaria

Señal

analógica

Salida FSK

analógica

Filtro

Pasabajo

Discriminador

de Frecuencia

Mezclador

Σ VCO

X(t) FSK estabilizada

13

Si la señal binaria de entrada cambia de “1” a “0” y viceversa y como FSK se modula

...