Un ejemplo sobre Multiplicadores de Lagrangre
Enviado por Dayesly velasco • 8 de Mayo de 2023 • Tareas • 487 Palabras (2 Páginas) • 31 Visitas
Un ejemplo sobre Multiplicadores de Lagrangre
Ejemplo: Maximizar el Volumen v = xyz de un parque rectangular con madera al a´ıre libre ( sin el techo ), donde la longitud es x, ancho y y altura de z. Adem´as se sabe que el costo para la pared xz es de 4$ el metro cuadrado, el costo para la pared yz es de 7$ el metro cuadrado y el costo de la madera del piso ( base ) xy es de 5$. Y se tiene que el l´ımite de gasto es de 10500$.
Soluci´on: Tenemos
V | = = | xyz + λ[2(4xz) + 2(7yz) + 5xy − 10500] xyz + λ[8xz + 14yz + 5xy − 10500]. | ||
Entonces se tiene | ||||
Vx | = | yz + 8λz + 5λy = 0 | (1) | |
Vy | = | xz + 14λz + 5λx = 0 | (2) | |
Vz | = | xy + 8λx + 14λy = 0 | (3) | |
Vλ | = | 8xz + 14yz + 5xy − 10500 = 0. | (4) | |
Resolviendo (1), (2) y (3) para −1/λ, |
1 8z + 5y 8 5
yz = −λ(8z + 5y) ⇒ − λ =[pic 1]
= + (5)
yz y z[pic 2][pic 3][pic 4]
1 14z + 5x 14 5
xz = −λ(14z + 5x) ⇒ − λ =[pic 5]
= + (6)
xz x z[pic 6][pic 7][pic 8]
1 8x + 14y 8 14
xy = −λ(8x + 14y) ⇒ − λ =[pic 9]
Igualando (5) con (6) para eliminar 5/z :
= +
xy y[pic 10][pic 11]
. (7)
x[pic 12]
8
=[pic 13]
y
Igualando (6) con (7) para eliminar 14/x :
5[pic 14][pic 15]
14
x ⇒ x = 1,75y.[pic 16]
8
Sustituyendo en (4) se tiene
...