Una homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Propiedades

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura

2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']

3. La imagen de línea es otra línea paralela a la original.

4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).

5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).

6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.

7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).

8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .

9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k•k' cuando k•k'≠1, y una traslación si k•k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

2. el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura

3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).

2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.

3. |k| < 1 implica una reducción.

4. k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.

Homotecias

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