Monografia Homotecias

1.- Las homotecias

No todas las colineaciones ortogonales son transformaciones de congruencia. Para ver esto basta considerar las transformaciones que transforman rectas en rectas paralelas. Si una transformación de este tipo es una traslación no tendrá puntos Fijos. Si tiene más de un punto fijo será necesariamente la transformación idéntica dado que todas las rectas que pasan por un punto fijo han de ser rectas fijas. Por el contrario, una transformación de este tipo con un único punto fijo no es una transformación de congruencia. Una tal transformación viene determinada unívocamente por el punto fijo O y un par (A, A') de puntos correspondientes. Incluyendo la transformación idéntica definimos:

1.1.- Homotecia

Se llama homotecia de centro 0 y razón k, a la transformación puntual Hk definida así:

H(O,k): A = A' ⇔ (OA' = k.OA).

1.2.- Definición

Una transformación H tal que para toda recta r H(r)//r y que tiene al menos un punto fijo O se denomina homotecia. O es el centro de homotecia.

De H(r)//r se deduce que las homotecias son colineaciones ortogonales. Un punto y su correspondiente están alineados con el centro, Si tenemos un sistema de coordenadas en el que una homotecia de centro O=(0,0) transforma el punto (1,0) en el (k,0) entonces se deduce que el punto P(A,0) se transforma en el P'(Ak,0).

Los segmentos OA y OA' verifican OA'= |k|.OA y se puede probar aplicando el teorema de Thales que para todo segmento AB se tiene A'B' =|k|.AB.

Se denomina razón de homotecia k ∈ ℝ ≠0.

Una homotecia queda determinada por O y k. Si:

k > 1 las figuras resultan ampliadas.

0< k < 1 las figuras resultan reducidas.

k= 1 da la transformación Idéntica.

k= -1 la simetría puntual respecto a O. (Simetría Central)

En la figura: (OA´)/OA=(OB´)/OB=2

Como k.OA está en la misma recta que OA, un punto A y su transformado A’ están siempre alineados con el centro de homotecia.

1.3.- Definición.

Llamaremos figura homotética de una figura F en la homotecia H, e indicaremos Por H(F), a la figura formada por los puntos de F transformados por H. (A´∈ H(F)) ⇔ (A’ = H(A) con A∈F).

H(O, 2)(F) = F’. Una figura F y su homotética F’, en la homotecia de centro O y razón 2.

1.4.- Para k = 1 se obtiene la transformación idéntica I que transforma todo punto en sí mismo:

H(O,1) = I

(De modo que toda figura es homotética de sí misma), y fuera de este caso, el único punto fijo (o sea, transformado de sí mismo) de una homotecia, es el centro de homotecia O, y son rectas fijas (pero no rectas de puntos fijos) las que pasan por O y solo ellas.

1.5.- También consideraremos homotecias de razón negativa. Para r = -1 resulta la simetría central de centro O.

H(O,-1) =SO

1.6.- Para k = 0 resulta A’ = 0 cualquiera sea el punto A; se obtiene la transformación constante C que transforma todo punto en un mismo punto 0:

H(O,0) = C

Pero es habitual excluir esta transformación de entre las homotecias.

1.7.- En la figura cabe observar una composición

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