HOMOTECIA

Introducción-

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.

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• Los segmentos con paralelos.

•

• Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denominan figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homotéticas.

Desarrollo-

La homotecia también es llamada dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala.

La homotecia es una transformación lineal y por consiguiente conserva:

 El alineamiento: las imágenes de puntos alineados en la figura.

 El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro de las imágenes.

 El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.

En la homotecia tiene en cuenta la figura original y la homotética, ambas tendrán la misma forma pero sus tamaños serán diferentes dependiendo del factor o razón de homotecia (generalmente se le representa con la consonante k) si es mayor o menor que la unidad.

En una homotecia los lados de las figuras homólogas siempre son paralelos y la figura resultante de aplicar la homotecia es proporcional a la primera.

Si no hay cambio de escala entre las dos figuras en una homotecia inversa, por ser su razón igual a uno, la homotecia es una simetría central.

En una homotecia en el espacio, las figuras homotéticas están cada una sobre un plano distinto y estos planos son paralelos entre sí de esta forma ambos planos se cortan en el infinito por ser paralelos.

Reglas para homotetizar:

El centro de homotecia es un punto fijo del plano.

La razón de homotecia es un factor:

• Si la razón de homotecia es mayor que 1 se produce un aumento en el tamaño de la figura.

• Si la razón de homotecia es menor que 1 se produce una disminución en el tamaño de la figura.

• Si la razón es negativa se produce una figura en el lado opuesto del centro de homotecia.

Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas.

De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

TIPO DE HOMOTECIAS:

1. Homotecia directa: es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuentra después o antes de la figura trazada. La característica principal es

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