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SOLUCIÓN

1) Suponga que un conductor de automovil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada 10 con exceso de velocidad, 6 son detectados. Un automovilista va con exceso de velocidad en viaje entre Bogota y Tunja. Durante el trayecto hay 8 estaciones de vigilancia por radar.

p = casos favorables/casos totales

p = 6/10

p = 0,6 Probabilidad de ser detectado con exceso de velocidad

q = 1-p = 1 - 0,6

q = 0,4 Probabilidad de no ser detectado con exceso de velocidad

n = 8 Numero de puestos de vigilancia

X = No de veces que es detectado con exceso de velocidad

Siguiendo con el proceso de Bernoulli, la distribucion de probabilidad adecuada es la Distribucion Binominal asi:

X : es una variable aleatoria discreta

n : son muestras independientes

p : probabilidades de exito

q : probabilidades de fracazo

a) Que probabilidad hay que este automovilista, por lo menos 5 veces sea dedetectado conduciendo con exceso de velocidad?

P( X≥5)= Σ8X=5 f(x) = f(5) + f(6) + f(7) + f(8)

P(X≥5)

= (8/5) (0,6)5 (0,4)8-5 + (8/6) (0,6)6 (0,4)8-6

+ (8/7) (0,6)7 (0,4)8-7 + (8/8) (0,6)8 (0,4)8-8

= 0,2787 + 0,2090 + 0,0896 + 0,0168

= 0,5961

El 59,6% de los casos, el automovilista será detectado por lo menos 5 veces conduciendo con exceso de velocidad.

b) Cuantas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

np = 8 * 0,6

np = 4,8 veces

El automovilista será detectado 4,8 veces conduciendo con exceso de velocidad.

c) Cual es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

P(X-0) = f (0) = (8/0) (0,6)0 (0,4)8-0 = 0,0007

El 0,07% de las veces el automovilista no sera detectado conduciendo con exceso de velocidad.

2) Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de credito, los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes

N= solicitudes de crédito

k= 4 solicitudes son de grupos minoritarios

b= N -k = 6 solicitudes de grupos que no son minoritarios

n= 6 solicitudes aprobadas por el ejecutivo

x= No de solicitudes de grupos minoritarios, entre las autorizadas por el ejecutivo

La distribución para este ejercicio es Hipergeometrica por la relación:

n/N ≥ 10% = 6/10 = 0,6 (60%), de la distribución dada por,

f= (K/X) (B/n-x) para x = ( 0,1,2,3........, n si n ≤ k

N/n 0,1,2,3........, k si k < n )

f= (4/7) (6/6-x) para x = 1,2,3,4

10/6

a) Cual es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean solicitudes de personas que perteneces a grupos minoritarios?

P(X<3) = ΣX2 f(x) = f(0) + F(1) + F(2)

= (4/0) ( 6/6-0) + (4/1) (6/6-1) + (4/2) (6/6-2)

(10/6) (10/6) (10/6)

= 1/210 + 24/210 + 90/210

= 115 / 210

= 23 / 42

= 0,5473

El 54,73% de los casos menos de la mitad de las autorizaciones son solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios.

b) Cuantas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios?

nk/N = 6*4 / 10 = 2,4 solicitudes

Se esperan 2 solicitudes autorizadas para grupos minoritarios.

3) Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora, calcule la probabilidad que:

a) En la primera media hora lleguen por lo menos dos clientes

b) En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente

c) En cualquier hora dada llegue más de un cliente

λ = 6,8 clientes/hora

X= No de clientes que llegan a la exhibición en cualquier tiempo (t).

Ya que la variable está relacionada con el tiempo, se desde desarrollar bajo la distribución de Poisson.

a) En la primera media hora lleguen por lo menos dos clientes

λ * t = 6,8 clientes * 0,5horas = 3,4 clientes

1 hora

f(X)= e-3,4 * (3,4)x ⁄ x! para X = 0,1,2,3....∞

P (X ≥ 2)= ΣX=2∞ f (X) = 1- (f (-0) + f (1))

= 1 - e-3.4 * (3,4)0 + e-3,4 * (3,4)1

0! 1!

= 1 - ( 0,0334 + 0,1135) = 1 - 0,1469

= 0,8531

El 85% de los casos llegan al menos 2 clientes en la primera media hora.

b) En el primer cuarto de hora no llega ningún cliente

λ * t = 6,8 clientes * 0,25 horas = 1,7 clientes 1 hora

f (X) = e-1,7 * (1,7)x para X es igual a 0,1,2,3....∞

x!

P (X=0) = f (0) = e* (1,7) = 0,1827

El 18 % de los casos no llegan clientes en el primer cuarto de hora.

c) En cualquier hora dada llega más de un cliente

λ * t = 6,8 clientes * 1 hora = 6,8 clientes

1 hora

f (X) = e-6,8 * (6,8)X para X es 1,2,3,4.....∞

X!

P ( X > 1) = ∑X=2∞ f (X) = 1- ( f (0) + f(1) = 1- (e-6,8 * (6,8)0 + e-6,8 * (6,8)1)

0 ! 1 !

= 1 - (0,0011 + 0,0076)

= 1 - 0,0087 = 0,9913

El 99% de las veces llega más de un cliente en cualquier hora dada.

4) Un estudio de las filas en las cajas de una entidad bancaria reveló que durante un cierto periodo en la hora más pesada, el número de clientes en espera, era en promedio de cuatro. Cuál es la probabilidad de que:

a. En la próxima hora no haya clientes esperando

λ = 4

x=0

P (0)= 40* (2,71828)-4 = 0,0183

0!

b. En la próxima media hora dos clientes estén en espera

λ = 4 hora en media hora 2

x = 2

P (2)= 22* (2,71828)-2 = 0,27067

2!

c. En un cuarto de hora dos o más clientes estén en espera

λ = 2 en media hora 1 en cuatro de hora

p(x≥2) = 1 – p (x<2) = 1 - p(x=0) – p (x=1)

P (0)= 10* (2,71828)-1 = 0.3679

0!

P (1)= 11* (2,71828)-1 = 0.3679

1!

1 - p(x=0.3679) – p (x=0.3679)= 0,2642

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