Álgebra Vectorial

Facultad de Ingeniería Civil

Departamento Académico de Ingeniería Civil

Estática (periodo 2013-I)

Primera tarea: Algebra vectorial

Calcula el ángulo que forman los vectores a = 2 i + 3 j − k y b = −i + j + 2 k. Calcula también los cosenos directores de los dos vectores, el producto vectorial de los vectores así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.

Calcula las componentes cartesianas de un vector a con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo α= 22.6º con el eje Z y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo β= 37.0º con el eje +X. Calcula también los ángulos con los ejes X e Y.

Dado un trapezoide (cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro), demuestre, usando el algebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro AB cualquiera, demuestre que las cuerdas PA y PB se cortan perpendicularmente, para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90o).

Usando álgebra vectorial demuestre el teorema de los senos y el teorema del coseno para triángulos planos.

Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

ω ⃗_1=(OA) ⃗; ω ⃗_2=(AB) ⃗; ω ⃗_3=(BO) ⃗

ω ⃗_4=(OC) ⃗; ω ⃗_5=(AC) ⃗; ω ⃗_6=(BC) ⃗

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano 0XYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del álgebra vectorial, determine las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores OA, OB y OC. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1). Unidades SI

Halle el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2,−1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres v ⃗_1 = 2i -3j+k y v ⃗_2 = 4k. (Unidades del SI).

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre a ⃗=2i+3j+6k y que contiene a un punto P, cuya posoición respecto al origen de un sistema de referencia 0XYZ viene dado por el vector posición r ⃗=i+5j+3k. Calcule la distancia que separa al origen O de dicho plano. (unidades SI)

Dados los vectores A, B y C, demuestra que la relación A•(B×C) = 0 se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

Los tres vectores son colineales.

Dos de los vectores son colineales.

A, B y C no son

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