Serie “Algebra Vectorial”

 [pic 1][pic 2]

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Geometría Analítica

Profesor: Rangel Ordoñez Francisco Armando

Alumnos:

Álvarez Romero Sergio Rodrigo

 Herrada Salas Yakir Rasiel

Cueto Jiménez Fernando

Serie “Algebra Vectorial”

1. Sea C (2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido . Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de  sobre los ejes coordenados X, Y y Z son 4, -8 y 2 respectivamente.[pic 3][pic 4]

[pic 7][pic 5][pic 6]

 [pic 8]

 [pic 9]

[pic 10]

 [pic 11]

 [pic 12]

 = [pic 13][pic 14]

 = (2, -3, 5) + [pic 15][pic 16]

 = (0, 1, 4)[pic 17]

 = [pic 18][pic 19]

 = (2, -3, 5) + [pic 20][pic 21]

  = (4, -7, 6)[pic 22]

1. Sea el punto P que está contenido en el plano YZ, está a dos unidades de distancia del origen de coordenadas, de ordenada negativa y cuyo vector de posición forma un ángulo de 30º con el eje Z; y sea el punto Q(4, 8, ). Empleando álgebra vectorial, calcular la distancia entre los puntos P y Q. [pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

P ( 0,-1, [pic 35]

(4, 8, ) -  ( 0,-1,  = (4, 9, [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

   = d[pic 40][pic 41]

d = [pic 42]

[pic 43]

1. Sean los vectores  y , tales que = 15 y   = 5. Si el vector   tiene la misma dirección que el vector   = 3i + 4j y si el vector  tiene la misma dirección que el vector  = (-8, 0, 6), empleando álgebra vectorial:[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

1. calcular el ángulo que forman los vectores  y [pic 66][pic 67]

 . [pic 68][pic 69]

  = ang cos [pic 70][pic 71]

  = ang cos [pic 72][pic 73]

  = 118.68540201411[pic 74]

1. obtener el módulo del vector  + , (sugerencia: utilizar la ley de los cosenos).[pic 75][pic 76]

 = [pic 77][pic 78]

 = [pic 79][pic 80]

1. determinar las componentes del vector  y .[pic 81][pic 82]

 = [pic 83][pic 84]

 = [pic 85][pic 86]

1. Sean los vectores  , ,  y  ,  que se muestran en la siguiente figura:[pic 87][pic 88][pic 89]

[pic 90]

A (-1, 1) B (-3 , 3) C (4, -1) F ( 8, 1)  (   = ( 1,0)[pic 91][pic 92][pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

Determinar:

1. La componente escalar de   en la dirección de  [pic 98][pic 99]

Comp. esc.  =  =  =  [pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

Comp. esc.  = -2[pic 104]

1. La componente vectorial de   en la dirección de [pic 105][pic 106]

Comp. vec.  =  .  =  . =(  )(1)[pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

Comp. vec.  =  [pic 113][pic 114]

1. La componente escalar de   en la dirección de  [pic 115][pic 116]

Comp. esc.  = 0 [pic 117]

(Debido a que forman un ángulo de 90º)

1. La componente vectorial de  en la dirección de  [pic 118][pic 119]

1. Comp. vec.  = 0 [pic 120]
2. (Debido a son perpendiculares)

Si el valor absoluto de la componente escalar de w en la dirección de  = 2, determinar:[pic 121]

 = [pic 122][pic 123]

1. Las componentes del vector .[pic 124]

 = -            w = (w, 0)[pic 125][pic 126]

 = -[pic 127][pic 128]

 = -[pic 129][pic 130]

w = [pic 131]

[pic 132]

     f) Las coordenadas del punto E.

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

[pic 136]

1. Para los vectores ,   y  que se muestran en las siguientes figuras, expresar  en términos de  y .[pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

[pic 143]

1.                          b)                  c) [pic 144][pic 145][pic 146]

d)           e) [pic 147][pic 148]

1. Sea el triángulo cuyo vértices son los puntos A( -1, 2 , 0), B(5, -1 , 3) y C(4,0,-2). Determinar un vector unitario que sea simultáneamente perpendicular a los lados de dicho triángulo.

 =  = i ((-3x-2) - (-2x3)) – j ((6x-2) – (5x3)) + k ((6x-2)-(5x3))[pic 155][pic 156]

[pic 157]

 = [pic 158][pic 159]

 = [pic 160][pic 161]

1. Sean los vectores  y tales que  = 3 y  = 4 y que forman un ángulo [pic 162][pic 163][pic 164][pic 165][pic 166]

1. Calcular  . [pic 167][pic 168]

 . [pic 169][pic 170]

 . [pic 171][pic 172]

 . [pic 173][pic 174]

 . [pic 175][pic 176]

b) Haciendo uso de algunas propiedades del producto escalar calcular [pic 177]

[pic 178]

[pic 179]

1. Sean los vectores u y v tales que:

El vector   forma ángulos de 60° y 45° con los ejes X y Y, respectivamente.[pic 180]

El vector  forma ángulos de 30° y 60° con los ejes Y y Z, respectivamente.[pic 181]

Calcular el ángulo que forman los vectores   y  (hay dos soluciones).[pic 182][pic 183]

 = [pic 201][pic 202]

 +  =           - =          [pic 203][pic 204][pic 205][pic 206][pic 207][pic 208]

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