Guia Algebra

ARITMETICA

Estructura de los Números Reales

Una forma de clasificar los números reales es mediante cada uno de sus subconjuntos;

aquí se presenta una tabla que te ayudará a comprender su clasificación.

Subconjuntos de los Números Reales Letra con que se designa Representación por Extensión: Representación por Descripción:

Números Enteros Z {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} { x | = a/b con a ,b  Z  b=1}

Números Racionales Q {1/2, 1/3, 2/7, 3.14, 6, 4/2...} {x | x = a/b con a ,b  Z}

Números Irracionales Q' {, 2, 7, …} {x | x  a/b con a ,b  Z}

Números Reales R {-5, 0, 1, ½, , 1.2,...} { x | x (Q  Q') }

Números Naturales N {1,2,3,4,5...} {x | x Z  x > 0}

Números Enteros Negativos M {-1,-2,-3,-4...} {x | x Z  x < 0}

Números Enteros no Negativos W {0,1,2,3,4,5...} {x | x Z  x  0}

Números Primos P {2,3,5,7,11,13...} { x | x  N y tiene exactamente dos divisores positivos}

Dígitos D {0,1,2,3,4,5,7,8,9} { x | x es una cifra utilizada en el sistema decimal}

Ejemplo1: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.

M  Q

Verdadero

Z  R

Verdadero

Q  Z = Z

Falso

Z Q

Ejercicios:

1) Encuentra el valor de verdad de las siguientes afirmaciones y elabora su Diagrama de Venn

1. Q  Q’ = 

2. N  Q’

3. Q  Q’ = R

4. (Q’  Q)  R

5. Z  Q = R

6. W  N

7. Z – N = W

8. W  N = { 0 }

9. M  N

10. R – Q = Q’

11. W – N = W

12. Q’   = Q’

13. W  Q

14. N  W = N

2.- Encuentra el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

a) { 3 }  N

b) -7  N

c) 4  Z

d) 3  Q

e) 9  P

f) -6  Q

g) 11  P

h) 1  R

i) ½  Z

j) 9  N

k) 2  Q

Números Primos

Se dice que un número natural a es primo si pertenece a los Naturales y tiene exactamente dos divisores positivos.

No existe una fórmula general que nos ayude a encontrar todos los números primos, sin embargo, un procedimiento efectivo para encontrarlos es la “Criba de Eratóstenes”.

Múltiplo: Decimos que un número es múltiplo de otro cuando el primero contiene un número exacto de veces al segundo. Ejemplos:

Los múltiplos de 3 son: 0, 3, 6, 9, 12, 15, ….

Los múltiplos de 5 son 0, 5, 10, 15, 20, 25, …

Ejemplo 1: Hallar todos los números primos menores a 30.

Solución: El Método de la Criba de Eratóstenes nos dice que para encontrar todos los números primos menores a 30 debemos primero dibujar una tabla donde aparezcan estos números:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Por Definición, el número 1 NO ES PRIMO. Por lo tanto, debe ser eliminado de nuestra lista.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

A continuación, el siguiente número de nuestra lista (en este caso el 2) es un número primo, y a continuación, deben eliminarse todos sus múltiplos.

2 3 5 7 9

11 13 15 17 19

21 23 25 27 29

El siguiente número que quede sin eliminar de nuestra lista (en este caso el 3) es un nuevo número primo, y a continuación, deben eliminarse todos sus múltiplos (si es que existe alguno)

2 3 5 7

11 13 17 19

23 25 29

Se sigue de esta forma hasta llegar a un número primo el cual al elevarse al cuadrado, sea mayor a cualquier número en la tabla. Todos los números que hayan quedado sin eliminar son números primos. Como el cuadrado de 7 es 49, ya no es necesario continuar y los números primos menores a 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad: Se dice que un número a es divisible entre un número b si la división a/b no deja residuo (en otras palabras, la división es exacta).

• Un número es divisible por 2 si la cifra de sus unidades es 0,2,4,6 u 8.

• Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5 si la cifra de sus unidades es 0 o 5.

• Un número es divisible por 7 si al separar la cifra de las unidades y multiplicarla por 2 se le resta al nuevo número tantas veces como sea posible, el resultado es cero o un múltiplo de 7.

• Un número es divisible por 11 si al sumar las cifras que ocupan lugar par y sumar las que ocupan lugar impar y restar ambos resultados (el mayor del menor), el resultado es cero o un múltiplo de 11.

Ejemplo 1: Acorde con los criterios de divisibilidad anteriormente enunciados, decir si el número 630 es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11

Solución:

Para ver si es divisible de 2, nos fijamos es la cifra de sus unidades.

Dado que esta cifra es 0, el número 630 SI ES DIVISIBLE ENTRE 2.

Para ver si es divisible entre 3, sumamos las cifras del número:

Dado que este número es divisible por 3, el número 630 SI DIVISIBLE ENTRE 3.

Para ver si es divisible entre 5, nos fijamos en la cifra de sus unidades.

Dado que esta cifra es 0, el número 630 SI ES DIVISIBLE ENTRE 5.

Para ver si es divisible entre 7, hacemos lo siguiente:

63 … 0 Separamos la cifra de las unidades para formar dos números

63 … 0 Multiplicamos por 2 la cifra de las unidades

63 – 0 = 63 Restamos ambos números

6 … 3 Continuamos hasta llegar a cero o un múltiplo de 7.

6 … 6

6 – 6 = 0

Dado que el resultado es 0, el número 630 SI ES DIVISIBLE ENTRE 7.

Para ver si es divisible entre 11 hacemos lo siguiente:

Ubicamos que cifras ocupan un lugar par y cuáles un lugar impar:

Después efectuamos las sumas:

6 + 0 = 6 Sumamos las cifras en lugar impar (0, 6)

3 = 3 Sumamos las cifras en lugar par (3)

El resultado de restar el mayor del menor es 6 – 3 = 3. Por lo tanto, 630 NO ES DIVISIBLE ENTRE 11. Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente tabla:

Número Divisibilidad entre 2 Divisibilidad entre 3 Divisibilidad entre 5 Divisibilidad entre 7 Divisibilidad entre 11

630 SI SI SI SI NO

Ejemplo 2: Acorde con los criterios de divisibilidad anteriormente enunciados, decir si el número 1529 es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11

Solución:

Para ver si es divisible entre 2, nos fijamos es la cifra de sus unidades.

Dado que esta cifra es 9, el número 1529 NO ES DIVISIBLE ENTRE 2.

Para ver si es divisible entre 3, sumamos las cifras del número:

Dado que 17 no es divisible entre 3, el número 1529 NO ES DIVISIBLE ENTRE 3.

Para ver si es divisible entre 5, nos fijamos en la cifra de sus unidades.

Dado que esta cifra es 9, el número 1529 NO ES DIVISIBLE ENTRE 5.

Para ver si es divisible por 7, hacemos lo siguiente:

152 … 9 Separamos la cifra de las unidades para formar dos números

152 … 18 Multiplicamos por 2 la cifra de las unidades

152 – 18 = 134 Restamos ambos números

13 … 4 Continuamos hasta llegar a cero o un múltiplo de 7.

13 … 8

13 – 8 = 5

Dado que 5 no es divisible entre 7, el número 1529 NO ES DIVISIBLE ENTRE 7.

Para ver si es divisible por 11 hacemos lo siguiente:

Ubicamos que cifras ocupan un lugar par y cuáles un lugar impar:

Efectuamos las sumas:

1 + 2 = 3 Sumamos las cifras en lugar impar (1, 2)

5 + 9 = 14 Sumamos las cifras en lugar par (5, 9)

El resultado de restar el mayor del menor es 11. Por lo tanto, 1529 SI ES DIVISIBLE ENTRE 11. Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente tabla:

Número Divisibilidad entre 2 Divisibilidad entre 3 Divisibilidad entre 5 Divisibilidad

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