Álgebra de Booleana.Teoremas y Postulados

Álgebra de Booleana.

El algebra de boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (La operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables lógicos).

4.1 Teoremas y Postulados.

TEOREMAS

La manera de demostrar los teoremas siguientes se puede basar en ideas intuitivas producto de la familiaridad con algún álgebra booleana en particular, (en diagramas de Venn, o bien, en circuitos con switches o en tablas de verdad) con la única condición de que se respete al pie de la letra los 6 postulados fundamentales. En estas notas sólo se usan razonamientos basados en los seis postulados. el hecho de que cada postulado tiene dos incisos los cuales son duales uno del otro.

O Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es.

O Expresiones duales. Dos expresiones se dicen duales una de la otra, si una se puede obtener de la otracambiando las operaciones ( + ) por (.) y viceversa y cambiando los O's por 1 's y viceversa.

Teorema 1. Multiplicación por cero

a) A.0 = 0

b) A+1 = 1

Explicación:

A.0 = A.0 + 0 0 es el neutro de la suma

= A.0 + A.A el producto de una variable por su complemento da 0

= A.(0 + A) distributividad

= A.(A) una variable más el neutro no se altera

= 0 una variable por su complemento da 0

Teorema 2. Absorción

a) A + AB = A

b) A(A + B) = A

F De aquí en adelante, de acuerdo al principio de dualidad demostrar sólo un inciso de los siguientes teoremas y automáticamente el inciso dual quedará demostrado.

Explicación:

A + AB = A.1 + AB 1 es el neutro del producto

= A(1 + B) distributividad

= A(1) Teorema 1

= A es el neutro del producto

Este teorema se puede usar en diversos casos de simplificación, basta con usar identificar en una suma, una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

Teorema 3. Cancelación

a) A + AB = A + B

b) A(A + B) = A B

Explicación:

A + AB = (A+A)(A+B) distributividad

= 1.(A+B) la suma de una variable con su complemento es 1

= A+B 1 es el neutro del Producto

Este teorema se puede usar en la simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión sumada Con su complemento multiplicado por otra expresión (o el dual).

Teorema 4. Cancelación

a) AB + AB = B

b) (A+B)(A+B)=B

Explicación:

AB + AB = (A+A )B distributividad

= 1.B la suma de una variable con su complemento es 1

= B 1 es el neutro del producto

Para usar este resultado hay que identificar dos términos que tienen un factor común y el término que no es común en una de ellas es el complemento del de la otra.

Teorema 5. Idempotencia

a) A.A = A

b\ A+A= A

La demostración del inciso (b) de este teorema es inmediata del teorema de absorción, ya que A + A =

A+ A.1.

Este teorema implica que cuando existen términos semejantes en una expresión, basta con escribir uno de ellos, o bien, que un término puede "desdoblarse" tantas veces como se quiera. Obsérvese que también esto implica que An = A para cualquier número n entero positivo.

Teorema 6. Consenso

a) AB + AC + BC = AB + AC

b) (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)( A+C)

Explicación:

AB +AC + BC = AB +AC + BC(A +A) A+A es el neutro de la multiplicación

= AB +AC +ABC +ABC distributividad

= (AB +ABC) + AC +ABC) conmutatividad y asociatividad

= AB + AC absorción

La clave para usar este teorema es encontrar dos términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con los que están multiplicando uno y otro y buscar otro elemento que sea la multiplicación de estos últimos dos, éste último elemento es el que se puede eliminar.

Teorema 7. Teorema de De Morgan

a) AB = A+B

b) A+B = AB

El teorema de De Morgan se puede generalizar al caso de más de dos variables booleanas, por ejemplo, para 3 variables, tenemos que A+B+C = (A+B )C = ABC, en forma similar, A.B.C = (A.B )+C = A+B+C , y así sucesivamente para más de tres variables.

Teorema 8. Involución

a) A=A

Teorema 9. Complementos de los neutros

a) 0 = 1, b) 1 = 0

Postulados

1.- La suma lógica de una variable a y 1 es siempre 1. f (a + 1) = 1

2.- La suma lógica de un 0 y una variable a, siempre da el valor de la variable a. f (a + 0) = a

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