TEOREMAS Y POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS DE MORGAN

2.1TEOREMAS Y POSTULADOS DEL  ALGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS DE MORGAN

1.  Propiedad de cierre. 

    Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S. 

    Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N. 

2.  Ley asociativa. 

    El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que 
    x*y*z = x*(y*z)  para toda x, y pertenecientes a S. 

3.  Ley conmutativa. 

Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que: 
x*y = y*x  para toda x,y pertenecientes a S. 

4.  Elemento identidad. 

El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S. 

5.  Inversa. 

El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e. 

6.  Ley distributiva. 

Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.). 

Siempre que: 

x*(y . z) = (x*y) . (x*z)

- El operador binario (+) define la adición. 
- Identidad aditiva es el cero. 
- La inversa aditiva define la sustracción. 
- El operador binario (.) define la multiplicación. 
- Identidad multiplicativa es 1. 
- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1 
- La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador + 
(.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington. 

1. 
a) Cierre con respecto al operador (+) 
b) Cierre con respecto al operador (.) 

2. 
a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x 
b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x 

3. 
a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x 
b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x 

4. 
a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z) 
b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z) 

5.  Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que: 

a) x+x’ = 1 
b) x’ = 0

6.  Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y.  Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria en la sig: 

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores) 

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra ordinaria. 

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división. 

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra en el álgebra ordinaria. 

e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Postulado 2                               a) x + 0 = x                                     b) x . 1 = x 
Postulado 5                            a) x + x’ = 1                                    b) x . x’ = 0 
Teorema 1                                 a) x + x = x                                     b) x . x = x 
Teorema 2                                  a) x + 1 = 1                                     b) x . 0 = 0 
Teorema 3 involución                       (x’)’ = x 
Teorema 3 conmutativo          a) x + y = y + x                                b) xy = yx 
Teorema 4 asociativo           a) x + (y + z) = (x + y) +z                 b) x (yz) = (xy) z 
Postulado 4 distributivo         a) x (y + z) = xy +xz            b) x + yz = (x + y)(x+z) 
Teorema 5 morgan                 a) ( x + y)’ = x’ y’                            b) (xy) = x’ + y’ 
Teorema 6 absorción            a) x + xy = x                                     b) x (x + y) = x 

Ejemplos: 
 

x + x = x                                          x + xy = x 
x + x = (x + x) . 1                             x . 1 + xy = x 
x + x = (x + x) (x + x’)                     x (1 + y) = x 
x + x = x + xx’                                 x (y + 1) = x 
x + x = x + 0                                    x (1) = x 
x + x = x                                          x = x 
  [pic 1]

Las variables booleanas pueden tomar varios valores de 1 ó 0. 
Una función booleana es una expresión formada por variables binarias. 

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