TRABAJO LOGICA

PARTE I: DESARROLLO DE CONCEPTOS TEORICOS:

1) DEFINICION DE CONCEPTOS:

- Dados dos conjuntos A y B no vacíos, el Producto Cartesiano de A por B (lo simbolizaremos ) se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tal que la primera componente  pertenece al primer conjunto A y la segunda   pertenece al segundo conjunto B, es decir:[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

Ejemplo: Dado un conjunto A, conformado por nombres de un grupo de amigos: y un conjunto B conformado por verduras de color verde: [pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

- Una Relacion Binaria entre dos conjuntos A y B es una regla de asociación entre dichos conjuntos, es subconjunto del producto cartesiano A x B. dado que en general en este solo estudiaremos relaciones binarias hablaremos de “Relaciones”, omitiendo así el hecho de que son binarias.

En símbolos: R es una relación de A en B si y solo sí  [pic 10]

Para denotar que un elemento x ϵ A esta relacionado con otro y ϵ B por la relación  R escribimos (x, y) ϵ R.

Si los conjuntos A y B son distintos diremos que la relación es binaria heterogénea mientras que si los conjuntos son iguales tendremos una relación binaria homogénea.

Ejemplos:

Dados los conjuntos  y y la relación , tendremos que  es una relación binaria heterogénea definida por [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

En el conjunto  podemos definir la siguiente relación binaria homogénea:[pic 16]

[pic 17]

Es una relación que llamaremos de orden habitual de los números.

Propiedades de las Relaciones Binarias Homogéneas:

1. Simétria:

Sea R una relación definida en A diremos que R es simétrica si  para cada pareja de la relación, la pareja en orden inverso también forma parte de la relación:

[pic 18]

Ejemplo:   definida en el conjunto , es Simétrica porque entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco. [pic 19][pic 20]

1. Asimétria:

Sea R una relación definida en A diremos que R es asimétrica si para cada pareja en la relación se cumple que su inversa no está en la relación:

[pic 21]

Ejemplo:  y la relación se define  entonces R es Asimetria ya que algunas de sus parejas tienen su reciproco y otras no.[pic 22][pic 23]

1. Anti Simetría:

Sea R una relación definida en A diremos que R es anti simetría si las únicas parejas cuyas inversas también son parte de la relación son las parejas de elementos iguales.

[pic 24]

Ejemplo:  y  entonces R es anti simetría porque ninguna de sus parejas tiene su reciproco.[pic 25][pic 26]

1. Reflexividad:

Una relación definida en un conjunto se llama reflexiva si cada elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:

[pic 27]

Ejemplo: sea  y la relación definida , entonces es reflexiva porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.[pic 28][pic 29]

1. Transitividad:

Una relación es transitiva si siempre que un elemento se relaciona con un segundo elemento, y este con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:

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