Logaritmos

Introduccion

Dados los números reales: a (positivos) y b (positivo y diferente de 1), diremos que el logaritmo de base a en base b es el numero real que utilizado como exponente de la base b nos da el numero a.

Es decir:

Con las siguientes condiciones de existencia:

a > 0

b > 0

b≠ 1

Ejemplo:

Verifique que su dominio de existencia es

Ejercicio; determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones:

Representación grafica de la función logaritmo

Si la base de una cierta función

Entonces su representación grafica será de la forma:

Propiedad 1

Si utilizamos como exponente de un cierto numero b el logaritmo de un numero a en base b, obtendremos el numero a.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Por definición sabemos que

Entonces, sustituyendo c en la segunda igualdad obtenemos el resultado que queríamos demostrar

Propiedad 2

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Basándonos en la propiedad 1 podes escribir las siguientes dos igualdades

Entonces su producto será:

Y aplicando la propiedad de productos de potencia de la misma base:

Y ahora por definición de logaritmo llegamos a la igualdad que queríamos demostrar

Propiedad 3

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Basándonos otra vez en la propiedad 1 volvemos a escribir las siguientes dos igualdades

Entonces el cociente será:

Y aplicando la propiedad sobre división de potencias de la misma:

Otra vez, por definición de logaritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar:

Propiedad 4

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Tomamos otra vez como punto de partida la igualdad que surge de la propiedad 1:

Si elevamos ambos miembros al mismo exponente n, obtendremos:

Aplicaremos ahora la propiedad sobre potencias de una potencia:

Nos bastara ahora aplicar, como en los casos anteriores, la definición de logaritmos para llegar a la formula que queremos demostrar:

Propiedad 5

Cambio de base

El logaritmo de un numero a en una cierta base b, es igual al cociente de los respectivos logaritmos de a y b en cualquier otra base B.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Tomamos otra vez como punto de partida la igualdad que surge de la propiedad 1:

Pasamos ahora a trabajar a un sistema de logaritmos de base B, y calculamos el de ambos miembros de la igualdad:

Como en el segundo miembro tenemos el logaritmo de una potencia, podemos aplicar la propiedad 4:

Se dijo al comienzo que las propiedades, que asumíamos el cumplimiento de todas las condiciones de existencia. Por lo tanto b, por ser una base, es diferente de 1. Su logaritmo en base B es, entonces, deferente de 0. Entonces podemos dividir ambos miembros de la igualdad procedente por , lo que nos permite llegar a la igualdad que queríamos demostrar:

IDENTIDADES LOGARÍTMICAS.

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

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