Una transformación lineal

Introducción

En esta ocasión vamos a hablar de funciones especiales, llamadas “Transformaciones Lineales”, las cuales aparecen con gran frecuencia en algebra lineal. También son importantes en una amplia variedad de aplicaciones.

Así mismo se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Todo esto es muy importante ya que se utilizan dentro de distintas funciones ya que varias son aplicaciones lineales y operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

¿Qué son?

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

• T(u + v) = T(u) + T(v)

• T(c u) = c T(u)

Ejercicio.

Determine si la transformación dada de V en W es lineal.

Ejercicio: 2

Determine si la transformación dada de V en W es lineal

Ejercicio: 3

Determine si la transformación dada de V en W es lineal

Ejercicio: 4

Determine si la transformación dada de V en W es lineal

Transformación Matricial

Se llama Transformación Matricial a toda función T: M nx 1 M mx 1 definida por T(x) = A . x siendo A  M mxn

Teorema: Toda Transformación Matricial es una Transformación Lineal si:

T: M nx1 M mx1 / T (x ) = A . x es una Transformación Matricial entonces T es una Transformación

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