Transformaciones Lineales

INTRODUCCION:

Bueno en este trabajo hablaremos sobre Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f (y).

Definición 1 [Transformación lineal]. Dados dos espacios vectoriales V y W, diremos que la función

T: V W es una transformación lineal de V en W, si y solo si,

1. T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) para todo v1, v2 ∈ V. (Propiedad aditiva)

2. T (λv1) = λT (v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Propiedad homogénea)

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios Vectoriales: “abre sumas y saca escalares”

Si es una transformación lineal entonces:

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN

1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee “ʄ de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Transformación de reflexión

Sea T: R2 R2 definida por T(x; y)=(x;-y). Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje.

El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base orto normal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base orto normal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.

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